等差数列　·　历年高考数学真题与解析

12．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}+a_{4}=7,3 a_{2}+a_{5}=5$ ，则 $S_{10}=$

12．已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为

4．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=1, a_{3}+a_{7}=()$

4．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5}=S_{10}, a_{5}=1$ ，则 $a_{1}=$

18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2}=11, S_{10}=40$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

18．$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{4}=32, \quad T_{3}=16$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n>5$ 时，$T_{n}>S_{n}$ ．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。

20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，且 $d>1$ ．令 $b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）若 $3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$ ，求 $d$ ．

5．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ，则 $S_{5}=~(\quad)$

7．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，设甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列；乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，则（）

13．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $2 S_{3}=3 S_{2}+6$ ，则公差 $d=$

1．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 3 ，公差为 2 ，则 $a_{10}=$ $\_\_\_\_$ 21。
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解。

10．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3, a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=100$ ，则 $n$ 的最大值为

17．记 $S_{n}$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}=S_{5}, a_{2} a_{4}=S_{4}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）求使 $S_{n}>a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．

6．$\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_{k}}{b_{k}}(1 \leq k \leq 5)$ 为常值，$a_{1}=288, a_{5}=96, b_{1}=192$ ，则 $b_{3}=($

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

14．将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\_\_\_\_$。

14．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=-2, a_{2}+a_{6}=2$ ，则 $S_{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

18．已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

8．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=-9, a_{3}=-1$ 。记 $T_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}(n=1,2, \ldots)$ ，则数列 $\left\{T_{n}\right\}$ ）．

10．（5 分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2}=-3, S_{5}=-10$ ，则 $a_{5}=$ $\_\_\_\_$ 0 ，$S_{n}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ － 10 ．

14．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{1} \neq 0, a_{2}=3 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}}=$

14．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}=5, a_{7}=13$ ，则 $S_{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（13分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=-10$ ，且 $a_{2}+10, a_{3}+8, a_{4}+6$ 成等比数列．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值．

18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{9}=-a_{5}$ ．
（1）若 $a_{3}=4$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{1}>0$ ，求使得 $S_{n} \geq a_{n}$ 的 $n$ 的取值范围．

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $a_{4}=15$ ，求 $S_{n}$ ；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}<12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

18．设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$

20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=4, a_{4}=S_{3}$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：对每 $n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}<2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．

21．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，公差 $d \in(0, \pi]$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n}=\sin \left(a_{n}\right), n \in \mathbf{N}^{*}$ ，记 $S=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ ．
①设 $a_{1}=0, d=\frac{2}{3} \pi$ ，求集合 $S$ ；
②设 $a_{1}=\frac{\pi}{2}$ ，试求 $d$ 的值，使得集合 $S$ 恰有两个元素；
（3）若集合 $S$ 恰有三个元素，且 $b_{n+T}=b_{n}$ ，其中 $T$ 为不超过 7 的正整数，求 $T$ 所有可能值。

6．某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 $1,2, \cdots, 1$

000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到 ，则下面4名学生中被抽到的是

8．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 是等差数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和．若 $a_{2} a_{5}+a_{8}=0, S_{9}=27$ ，则 $S_{8}$ 的值是 A．

9．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_{4}=0, a_{5}=5$ ，则

15．（13分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{1}=\ln 2, a_{2}+a_{3}=5 \ln 2$ ．
（I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $e^{a_{1+e}} a_{2+\ldots+e}^{a_{n}}$ ．

17．（12分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=-7, S_{3}=-15$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

17．（12分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=-7, S_{3}=-15$ ．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，并求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的最小值．

（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已

知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

4．（5分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$ ，则 $a_{5}=$（）

5．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{2}+a_{8}=10$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$ $\_\_\_\_$

9．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=36$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为＿ $a_{n}=6 n-3$ 。

12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了＂解数学题获取软件激活码＂的活动。这款软

件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4 , 8,1,2,4,8,16, \ldots$ ，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$ ，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N ： $\mathrm{N}>10$ 0 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是（）

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \quad \mathrm{~b}_{1}=1, \quad \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2$.
（1）若 $a_{3}+b_{3}=5$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $T_{3}=21$ ，求 $S_{3}$ ．

18．（13分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right),\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 $0, b_{2}+b_{3}=12, b_{3}=a_{4}-2 a_{1}, S_{11}=11 b_{4}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\left(n \in N^{*}\right)$ 。

19．（16 分）对于给定的正整数 $k$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n ~(n>k) ~$ 总成立，则称数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（k）数列＂．
（1）证明：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$p$③数列＂；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既是＂$P(2)$ 数列＂，又是＂$P(3)$ 数列＂，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

20．（13 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，记 $c_{n}=\max \left\{b_{1}-a_{1} n, b_{2}-a_{2} n, \ldots\right.$ ， $\left.b_{n}-a_{n} n\right\} ~(n=1,2,3, \ldots) ~$ 其中 $\max \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right\}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ 这 $s$个数中最大的数．
（1）若 $a_{n}=n, b_{n}=2 n-1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m+1}, c_{m+2}, \ldots$ 是等差数列。

4．（5分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为（ ）

6．（5 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则＂$d>0$＂是＂$S_{4}+S_{6}> 2 \mathrm{~S}_{5}{ }^{\prime \prime}$ 的（ ）

6．若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项的和为 25 ，则 $a_{1}+a_{5}=$ $\_\_\_\_$ ；

9．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 1 ，公差不为 0 ．若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 6 项的和为（ ）

12．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1}=6, a_{3}+a_{5}=0$ ，则 $S_{6}=$ 6

17．（12分）$S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1}=1, S_{7}=28$ ，记 $b_{n}=\left[\lg a_{n}\right]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[\lg 99]=1$ 。
（I）求 $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{11}, \mathrm{~b}_{101}$ ；
（II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和。

17．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}=4, a_{5}+a_{7}=6$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\left[a_{n}\right]$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项和，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[2.6]=2$ 。

18．（12 分）（2016 •山东）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$ ．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

18．（13分）（2016•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 $\mathrm{n} \in N^{+}, b_{n}$ 是 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 的等比中项。

（1）设 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}{ }_{\mathrm{n}+1}^{2}-\mathrm{b} \frac{2}{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{+}$，求证：数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{d}, \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{2 \mathrm{n}}(-1){ }^{\mathrm{k}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}^{2}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，求证：$\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{\mathrm{~T}_{\mathrm{k}}}<\frac{1}{2 \mathrm{~d}^{2}}$ ．

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6分。

对于无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$，记 $A=\left\{x \mid x=a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$，若同时满足条件：①$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均单调递增；②$A \cap B=\varnothing$ 且 $A \cup B=\mathbf{N}^{*}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列．
（1）若 $a_{n}=2 n-1, b_{n}=4 n-2$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若 $a_{n}=2^{n}$ 且 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 16 项的和；
（3）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。

若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$；
（2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由；
③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．

3．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 9 项的和为 $27, a_{10}=8$ ，则 $a_{100}=$（）

8．（5分）（2016•江苏）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，若 $a_{1}+a_{2}{ }^{2}=-3, S_{5}=10$ ，则 $\mathrm{a}_{9}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

10．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，若 $a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=25$ ，则 $a_{2}+a_{8}=$ $\_\_\_\_$。

13．中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015 ，则该数列的首项为 $\_\_\_\_$

13．中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015 ，则该数列的首项为 $\_\_\_\_$ ．

14．设 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，且 $3 S_{1}, 2 S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n}=$

16、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=2$ ，前 3 项和 $S_{3}=\frac{9}{2}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=a_{1}, b_{4}=a_{15}$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 n 项和 $T_{n}$ ．

16．（5分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=-1, a_{n+1}=S_{n+1} S_{n}$ ，则 $S_{n}=-\frac{1}{n}-$

16．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于 $\_\_\_\_$ ．
－【答案】9

17．（本小题满分 12 分）
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=4, a_{4}+a_{7}=15$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=2^{a_{n}-2}+n$ ，求 $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{10}$ 的值．
．【答案】（I）$a_{n}=n+2$ ；（II） 2101 ．

17．（12分） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，已知 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}+2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+3$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

18．已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $a_{n+2}=q a_{n}$（ $q$ 为实数，且 $q \neq 1$ ），$n \in N^{*}, a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{2}+a_{1}, a_{3}+a_{4}$ ， $a_{4}+a_{5}$ 成等差数列。
（I）求 $q$ 的值和 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{\log _{2} a_{2 n}}{a_{2 n-1}}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

2．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，若 $a_{2}=4, a_{4}=2$ ，则 $a_{6}=$

22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分。

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(b_{n+1}-b_{n}\right), n \in \mathrm{~N}^{*}$．
（1）若 $b_{n}=3 n+5$，且 $a_{1}=1$，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项，即 $a_{n_{0}}>a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，求证：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项；
（3）设 $a_{1}=\lambda<0, b_{n}=\lambda^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，求 $\lambda$ 的取值范围，使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 有最大值 M 与最小值 $m$，且 $\frac{\mathrm{M}}{m} \in(-2,2)$．

6．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是

7．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{8}=4 S_{4}$ ，则 $a { }_{10}=$

8．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 -1 的等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$项和，若 $S_{1} , S_{2} , S_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1}$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

12．（5 分）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{7}+a_{8}+a_{9}>0, a_{7}+a_{10}<0$ ，则当 $n=$ $\_\_\_\_$ 8时，$\left\{a_{n}\right\}$的前 $n$ 项和最大。

13．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=7$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当且仅当 $n=8$ 时 $S_{n}$ 取最大值，则 $d$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+n(n+1), n \in N^{+}$
证明：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列；
设 $b_{n}=3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=4$ ， $b_{4}=20$ ，且 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 为等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（本小题满分 13 分．（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，$S_{n}$ 表示 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（I）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$；
（II）设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$项和 $T_{n}$．

17．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等差数列，$a_{2}, a_{4}$ 是方程 $x^{2}-5 x+6=0$ 的根．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

17．（10分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}+2$ 。
（I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（II）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

17．（（本小题满分 12 分）
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=3, a_{5}=81$ ．
（1）求 $a_{n}$ ；

②设 $b_{n}=\log _{3} a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=2$ ，且 $a_{1} , a_{2} , a_{5}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n}>60 n+800$ ？若存在，求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由．

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=13$ ，$a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

17．（本小题满分 12 分）
已知首项都是 1 的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n} \neq 0, n \in N^{+}\right)$，满足 $a_{n} b_{n+1}-a_{n+1} b_{n}+2 b_{n+1} b_{n}=0$．
（1）令 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}$，求数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n}=3^{n-1}$，求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$

（19）（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知公差 $d=2, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $b_{n}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$ ，记 $T_{n}=-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}-\ldots+(-1)^{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=2$，且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n}>60 n+800$ ？若存在，求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由．

2．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{3}+a_{5}=10$ ，则 $a_{7}=$

20．（本小题满分 16 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n}=a_{m}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂。
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1}=1$，公差 $d<0$。若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$，总存在两个＂$H$ 数列＂$\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$，使得
$a_{n}=b_{n}+c_{n}$
$\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 成立。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4－ 1：几何证明选讲】

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=p^{n}, n \in N^{*}$ ．
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，且 $a_{1}, 2 a_{2}, 3 a_{3}$ 成等差数列，求 $P$ 的值；
（2）若 $p=\frac{1}{2}$ ，且 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是递增数列，$\left\{a_{2 n}\right\}$ 是递减数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

3．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=2, S_{3}=12$ ，则 $a_{6}=$

5．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 ，若 $a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$（ ）

8．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，若数列 $\left\{2^{a_{1} a_{n}}\right\}$ 为递减数列，则

12．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{1}+1, a_{3}+3, a_{5}+5$ 构成公比为 $q$ 的等比数列，则 $q=$
$\_\_\_\_$．

9．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 d ，若数列 $\left\{2^{a_{1} a_{n}}\right\}$ 为递减数列，则

12．（5分）（2013•广东）在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $a_{3}+a_{8}=10$ ，则 $3 a_{5}+a_{7}=$ $\_\_\_\_$。

（12）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=1$ ，公差 $d \neq 0, S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1} , a_{2} , a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{8}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}+a_{3}=8$，且 $a_{4}$ 为 $a_{2}$ 和 $a_{9}$ 的等比中项，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项、公差及前 $n$ 项和。

16、（本小题满分 12 分）
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}-a_{1}=2$，且 $2 a_{2}$ 为 $3 a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项、公比及前 $n$项和。

17．（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{7}=4, a_{19}=2 a_{9}$ ，
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差不为零，$a_{1}=25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3 n-2}$ 。

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{3}=0, S_{5}=-5$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

17．（本小题满分 12 分）

已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d=1$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$．（I）若 $1, a_{1}, a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$；
（II）若 $S_{5}>a_{1} a_{9}$，求 $a_{1}$ 的取值范围。

20、（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4}=4 S_{2}, a_{2 n}=2 a_{n}+1$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n}+\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\lambda$（ $\lambda$ 为常数）。令 $c_{n}=2 b_{2 n},\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ 。

（4）下面是关于公差 $d>0$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的四个命题：
$p_{1}$：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{3}$：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{2}$：数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{4}$：数列 $\left\{a_{n}+3 n d\right\}$ 是递增数列；

其中的真命题为

（4）下面是关于公差 $d>0$ 的等差数列 $\left(a_{n}\right)$ 的四个命题：
$p_{1}$：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{3}$：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{2}$：数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{4}$：数列 $\left\{a_{n}+3 n d\right\}$ 是递增数列；

其中的真命题为

（7）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{8}=4 a_{3}, a_{7}=-2$，则 $a_{9}=$

7．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m-1}=-2, S_{m}=0, S_{m+1}=3$ ，则 $m=$

10．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$
$\_\_\_\_$ ，$S_{n}=-\frac{1}{4^{n}(n+1)}$ $\_\_\_\_$ ．

10．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$s_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{2}, s_{2}=a_{3}$ ，则 $a_{2}=$ 1 ．

11．已知递增的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{3}=a_{2}{ }^{2}-4$ ，则 $a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 都是等差数列，若 $a_{1}+b_{1}=7, a_{3}+b_{3}=21$ ，则 $a_{5}+b_{5}=$ $\_\_\_\_$。

17．（10分）$\triangle A B C$ 中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足 $2 b^{2}=3 a c$ ，求A。

18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 前三项的和为 -3 ，前三项的积为 8 ．
（1）求等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{2}, a_{3}, a_{1}$ 成等比数列，求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项的和．

2．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}+a_{5}=10, a_{4}=7$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为

20．（本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{\sqrt{a_{n}{ }^{2}+b_{n}{ }^{2}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
①设 $b_{n+1}=1+\frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，求证：数列 $\left\{\left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)^{2}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．

## 绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

## 数学 II（附加题）

## 注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

## 21．［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

## 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

##

20．（本小题满分 13 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前三项的和为 -3 ，前三项的积为 8 ．
（1）求等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{1}$ 成等比数列，求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 n 项和。

（4）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 $1,2, \ldots$ ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的 32 人中，编号落入区间 $[1,450]$ 的人做问卷 $A$ ，编号落入区间［451，750］的人做问卷 $B$ ，其余的人做问卷 $C$ 。则抽到的人中，做问卷 $B$ 的人数为

11．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，若 $a_{3}=16, S_{20}=20$ ，则 $S_{10}$ 的值为

开视图

$\_\_\_\_$

係视图

特线绍

17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}=0, a_{6}+a_{8}=-10$
（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；

（II）求数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a(a \in R)$ 设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；
（II）记 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\frac{1}{S_{3}}+\ldots+\frac{1}{S_{n}}, \mathrm{~B}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2} n-1}$ ，当 $\mathrm{a} \geq 2$ 时，试比较 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 与 $\mathrm{B}_{\mathrm{n}}$ 的大小。
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（I）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 $d$ ，则数列的通项公式和前 $n$ 项的和可得。
（II）利用（I）的 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ ，最后对 $a>0$ 和 $a<0$两种情况分情况进行比较。

20．（本小题满分16分）
设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，已知对任意整数 $k \in M$ ，当 $n>k$ 时，$S_{n+k}+S_{n-k}=2\left(S_{n}+S_{k}\right)$ 都成立。
（1）设 $M=\{1\}, a_{2}=2$ ，求 $a_{5}$ 的值；
②设 $M=\{3,4\}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

## 数学II（附加题）

4．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，其公差为 -2 ，且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，则 $S_{10}$ 的值为

4．（5分）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2, S_{k+2}-S_{k}=24$ ，则 $\mathrm{k}=$

8．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $3,\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列且 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ．若则 $b_{3}=-2$ ， $b_{10}=12$ ，则 $a_{8}=$

6．（5分）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2, S_{k+2}-S_{k}=24$ ，则 $k=(\quad)$

5．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，公差 $\mathrm{d}=-2, S_{n}$ 为其前 n 项和．若 $S_{10}=S_{11}$ ，则 $a_{1}=$

（17）（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 。

（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值。

17．（10分）记等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $S_{3}=12$ ，且 $2 a_{1}, a_{2}, a_{3}+1$ 成等比数列，求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

22．（本小题满分 14 分）
正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=5$ ，且 $\left\{a_{n}^{2}\right\}$ 成等差数列．
（1）证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有无穷多项为无理数；
（2）当 $n$ 为何值时，$a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n}<200$ 的所有整数项的和．

22．（本小题满分 14 分）
证明以下命题：
①对任一正整 a ，都存在整数 $\mathrm{b}, \mathrm{c}(\mathrm{b}<\mathrm{c})$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列。
②存在无穷多个互不相似的三角形 $\triangle_{\mathrm{n}}$ ，其边长 $a_{\mathrm{n}}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 $a_{\mathrm{n}}{ }^{2}, b_{n}{ }^{2}, c_{n}{ }^{2}$成等差数列。

## 2010 年江西高考理科数学真题及答案

## 第 I 卷

4．（5分）如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$ ，那么 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=$（）

6．（5分）如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$ ，那么 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=$（）

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

13．（4分）（2009•陕西）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6}=S_{3}=12$ ，则 $a_{n}=$ $\_\_\_\_$ 2n ．

13．（4分）（2009•陕西）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6}=S_{3}=12$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{n^{2}}=1$

（14）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $6 S_{5}-5 S_{3}=5$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 的和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=72$ ，则 $a_{2}+a_{4}+a_{9}=$ $\_\_\_\_$ 24 ．

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5}=5 a_{3}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{5}}=$ $\_\_\_\_$ 9 ．

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=81$ ，则 $a_{2}+a_{5}+a_{8}=$ $\_\_\_\_$ 27 ．

（16）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 n 项和为 $S_{n}$ 。已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a^{2}{ }_{m}=0, S_{2 m-1}=38$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$

17．（10分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3} a_{7}=-16, a_{4}+a_{6}=0$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $s_{n}$ ．

19．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, S_{n+1}=4 a_{n}+2\left(n \in N^{*}\right)$ ．
①设 $b_{n}=a_{n+1}-2 a_{n}$ ，证明数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

（3）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差不为零，首项 $a_{1}=1, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{5}$ 等比中项，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项之和是

（7）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，且 $4 a_{1}, 2 a_{2}, a_{3}$ 成等差数列。若 $a_{1}=1$ ，则 $s_{4}=$

8．公差不为零的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项， $S_{8}=32$ ，则 $S_{10}$ 等于

13、已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$a_{3}+a_{8}=22, a_{6}=7$ ，则 $a_{5}=$ $\_\_\_\_$

15．（4 分）（2008 • 四川）设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，且 $\mathrm{S}_{5}=\mathrm{a}_{5}$ ．若 $\mathrm{a}_{4} \neq 0$ ，则 $\frac{\mathrm{a}_{7}}{\mathrm{a}_{4}}=3$ ．

16．（4分）（2008•四川）设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{4} \geq 10, \mathrm{~S}_{5} \leq 15$ ，则 $\mathrm{a}_{4}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 4。

19．（12 分）（2008 • 山东）将数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10} \ldots$ 记表中的第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \ldots$ 构成的数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ ， $b_{1}=a_{1}=1$ ．$S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2 b_{n}}{b_{n} S_{n}-S_{n}^{2}}=1 \quad(n \geqslant 2)$ ．
（I）证明数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数。当 $\mathrm{a}_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 3)$ 行所有项的和．
$a_{1}$
$a_{2} \quad a_{3}$
$\begin{array}{lll}a_{4} & a_{5} & a_{6}\end{array}$
$\begin{array}{llll}a_{7} & a_{8} & a_{9} & a_{10}\end{array}$

（18）（本题14分）
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的首项 $x_{1}=3$ ，通项 $x_{n}=2^{n} p+n p\left(n \in N^{*}, p, q\right.$ 为常数），且成等差数列。求：
（ I ）$p, q$ 的值；
（II）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的公式。

（20）（本小题共 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}(n=1,2, \ldots \ldots), \lambda$ 是常数．
（I）当 $a_{2}=-1$ 时，求 $\lambda$ 及 $a_{3}$ 的值；
（II）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由 ；
（III）求 $\lambda$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$ ，当 $n>m$ 时总有 $a_{\mathrm{n}}<0$ ．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试

（4）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项和 $S_{5}=25$ ，且 $a_{2}=3$ ，则 $a_{7}=$

4．（5分）（2008•陕西）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}+a_{2}=4, a_{7}+a_{8}=28$ ，则该数列前 10 项和 $S_{10}$ 等于

6．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 对任意的 $p, q \in \mathbf{N}^{*}$ 满足 $a_{p+q}=a_{p}+a_{q}$ ，且 $a_{2}=-6$ ，那么 $a_{10}$ 等于

）

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=4, a_{3}+a_{5}=10$ ，则它的前 10 项的和 $S_{10}=$（ ）

（7）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=6, a_{5}=15$ ．若 $b_{n}=a_{2 n}$ ，则数列 $\{b \left.{ }_{n}\right\}$ 的前 5 项和等于