待定系数法高考真题解析

11．在 $\left(\frac{3}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\right)^{6}$ 的展开式中，常数项为 $\_\_\_\_$ ．

5．$\left(2 x-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（ ）。

12．已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

5．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ，则 $S_{5}=~(\quad)$

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．

7．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，设甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列；乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，则（）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

21．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．

（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

17．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且 $a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$ ．
（1）证明：$a_{1}=b_{1}$ ；
（2）求集合 $\left\{k \mid b_{k}=a_{m}+a_{1}, 1 \leq m \leq 500\right\}$ 中元素个数．

5．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（ ）

3．在 $(\sqrt{x}-2)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为（ ）。

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

18．已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

6．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$

（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已

知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

5．（ 5 分）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\widehat{\mathrm{y}}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ ，已知 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=225, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=1600, \widehat{\mathrm{~b}} =4$ ，该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为

5．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y= \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为（ ）

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$的坐标为 $(0,1)$ ，当 m 变化时，解答下列问题：
①能否出现 $A C \perp B C$ 的情况？说明理由；
②证明过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值．

18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 $\mathrm{M}: \mathrm{x}^{2}+ y^{2}-12 x-14 y+60=0$ 及其上一点A（2，4）。
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 $\mathrm{x}=6$ 上，求圆 N 的标准方程；
②设平行于 OA 的直线 $l$ 与圆 M 相交于 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ 两点，且 $\mathrm{BC}=\mathrm{OA}$ ，求直线 $l$ 的方程；
③设点 $\mathrm{T}(\mathrm{t}, 0)$ 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}$ ，求实数 t 的取值范围

17．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}=4, a_{5}+a_{7}=6$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\left[a_{n}\right]$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项和，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[2.6]=2$ 。

16．（13 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=10, a_{4}-a_{3}=2$
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{2}=a_{3}, b_{3}=a_{7}$ ，问：$b_{6}$ 与数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第几项相等？

12．已知双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的顶点重合，$C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，若 $C_{2}$ 的一条渐近线的斜率是 $C_{1}$ 的一条渐近线的斜率的2倍，则 $C_{2}$ 的方程为 $\_\_\_\_$．

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, \mathrm{~b}>0)$ 的一条渐近线过点（ $2, \sqrt{3}$ ），且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{7} x$ 的准线上，则双曲线的方程为

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-c, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c,|F M|=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
（I）求直线 $F M$ 的斜率；
（II）求椭圆的方程；
（III）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$（ $O$ 为原点）的斜率的取值范围。

5．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一个焦点为 $\mathrm{F}(2,0)$ ，且双曲线的渐近线与圆 $(x-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=3$ 相切，则双曲线的方程为

（20）（本小题满分 13 分）
设椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 B 的坐标为 $(0, b)$ ，点 M 在线段 AB 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 OM 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 E 的离心率 e ；
（II）设点 C 的坐标为 $(0,-b), \mathrm{N}$ 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 E 的方程．

3．已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过点 $(-1,1)$ ，则抛物线焦点坐标为

17、（本小题满分 13 分，（I）小问 10 分，（II）小问3分）
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

（I）求 y 关于 t 的回归方程 $\hat{y}=\hat{b} t+\hat{a}$
（II）用所求回归方程预测该地区 2015 年 $(t=6)$ 的人民币储蓄存款。
附：回归方程 $\hat{y}=\hat{b} t+\hat{a}$ 中

$$ \left\{\begin{array}{c} b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \\ a=\bar{y}-b \bar{x} . \end{array}\right. $$

15．（3分）已知双曲线过点 $(4, \sqrt{3})$ 且渐近线方程为 $y= \pm \frac{1}{2} x$ ，则该双曲线的标准方程是 $-\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$ 。

10．（5 分）设双曲线 C 的两个焦点为 $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0)$ ，一个顶点是（ 1 ， $0)$ ，则 C 的方程为 $\_\_\_\_$ $x^{2}-y^{2}=1$ ．

3．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=2, S_{3}=12$ ，则 $a_{6}=$

20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆 C 的标准方程；
②设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ．
（i）证明： OT 平分线段 PQ （其中 O 为坐标原点）；
（ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时，求点 T 的坐标．

2．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{3}+a_{5}=10$ ，则 $a_{7}=$

8．（5分）已知 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$轴的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=3$ ，则 $C$ 的方程为（ ）

7．（ 5 分）（ $2013 \cdot$ 广东）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 $\mathrm{F}(3,0)$ ，离心率等于 $\frac{3}{2}$ ，则 C 的方程是 ）
A
－$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
－$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{5}=1$
－$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{\sqrt{5}}=1$

18．（本小题满分 13 分）
如图，在正方形 $O A B C$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{9}$，连接 $O B_{i}$，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$交于点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$。

（1）求证：点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与拖物线 E 交于不同的两点 $M, N$，若 $\triangle O C M$ 与 $\triangle O C N$ 的面积之比为 $4: 1$，求直线 $l$ 的方程。

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差不为零，$a_{1}=25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列。
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3 n-2}$ 。

3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

10．（5分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=16 \mathrm{x}$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）