待定系数法高考真题解析

4．在二项式 $(2 x-1)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$．

4．$(x-\sqrt{x})^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为

11．在 $\left(\frac{3}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\right)^{6}$ 的展开式中，常数项为 $\_\_\_\_$ ．

12．已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

5．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ，则 $S_{5}=~(\quad)$

14．若 $f(x)=(x-1)^{2}+a x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_{n}+2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

7．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，设甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列；乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，则（）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上，点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\odot M$ 上，则 $\odot M$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

15．过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\_\_\_\_$。

11．$\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{5}$ 的展开式中的常数项为 $\_\_\_\_$ ．

19．椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ 、右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，且满足 $\frac{|B F|}{|A B|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一公共点 $M$ ，与 $y$ 轴相交于 $N$（ $N$ 异于 $M$ ）．记 $O$ 为坐标原点，若 $|O M|=|O N|$ ，且 $\triangle O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．

14．写出与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和 $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$ 都相切的一条直线的方程

2．已知 $a, b \in \mathbf{R}, a+3 \mathrm{i}=(b+\mathrm{i}) \mathrm{i}$（ i 为虚数单位），则（ ）

5．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（ ）

11．$\left(x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{4}$ 展开式中常数项为 $\_\_\_\_$。

18.

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列：（2）数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列；（3）$a_{2}=3 a_{1}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

15．已知函数 $f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

21．抛物线$C$的顶点为坐标原点$O$．焦点在$x$轴上，直线$l$：$x=1$交$C$于$P$，$Q$两点，且$OP\perp OQ$．已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切．
（1）求$C$，$\odot M$的方程；
（2）设$A_1,A_2,A_3$是$C$上的三个点，直线$A_1A_2$，$A_1A_3$均与$\odot M$相切．判断直线$A_2A_3$与$\odot M$的位置关系，并说明理由．

13.

已知多项式 $(x-1)^{3}+(x+1)^{4}=x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}$ ，则 $a_{1}=$ $\_\_\_\_$ ，$a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

21．平面上点 $A(2,-1)$ 在矩阵 $\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{ll}a & 1 \\ -1 & b\end{array}\right]$ 对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$ ．
（1）求实数 $a, b$ 的值；
（2）求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$ 。

B．［选修4－4：坐标系与参数方程］

4．已知复数 $z$ 满足 $z+2 \bar{z}=6+\mathrm{i}$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$

6．若函数 $y=a \cdot 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$

6．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$

14．$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中常数项是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

7．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 经过点 $(3,4)$ ，则该双曲线的渐近线方程是 A．

7．在 $\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的二项展开式中，常数项的值为 $\_\_\_\_$

6．已知平面上动点 P 到两个定点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 的距离之和等于 4 ，则动点 P 的轨迹方程为 $\_\_\_\_$

9．设 $a \in R$ ，若 $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{9}$ 与 $\left(x+\frac{a}{x^{2}}\right)^{9}$ 的二项展开式中的常数项相等，则 $a=$ $\_\_\_\_$

（12）在平面直角坐标系中，经过三点 $(0,0),(1,1),(2,0)$ 的圆的方程为 $\_\_\_\_$。

22．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$ ．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0$
（1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
（2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程。

5．（5分）$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为

5．（ 5 分）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\widehat{\mathrm{y}}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ ，已知 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=225, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=1600, \widehat{\mathrm{~b}} =4$ ，该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为

4．（5分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为（ ）

5．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y= \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为（ ）

10．（5 分）在 $(1-2 x)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 60 ．（用数字作答）