分类不全高考易错题

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

15．设 $a>0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x<-a, \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}},-a \leq x \leq a, \text { 给出下列四个结论：} \\ -\sqrt{x}-1, x>a .\end{array}\right.$
①$f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递减；
（2）当 $a \geq 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；
③设 $M\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1} \leq a\right), N\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{2}>a\right)$ ，则 $|M N|>1$ ；
④设 $P\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)\left(x_{3}<-a\right), Q\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\left(x_{4} \geq-a\right)$ 。若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

其中所有正确结论的序号是

9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）

20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．

21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

14．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x

18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：

甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5 ， $0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．

9.

设 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos (2 \pi x-2 \pi a) . & x

9．已知 $\alpha, \beta \in R$ ，则＂存在 $k \in Z$ 使得 $\alpha=k \pi+(-1)^{k} \beta$＂是＂ $\sin \alpha=\sin \beta$＂的（ ）．

18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

| | 男生 | | 女生 | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | 支持 | 不支持 | 支持 | 不支持 |
| 方案一 | 200人 | 400 人 | 300人 | 100人 |
| 方案二 | 350人 | 250 人 | 150人 | 250 人 |

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（II）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；
（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小。（结论不要求证明）

19．已知函数 $f(x)=12-x^{2}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程；

（II）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最小值．

21．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质：
（1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ；

（2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．
（I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由；
（II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。

19．（13 分）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\mathrm{ax}^{2}-(3 \mathrm{a}+1) \mathrm{x}+3 \mathrm{a}+2\right] \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ ．
（I）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(2, \mathrm{f}(2))$ 处的切线斜率为 0 ，求 a ；
（II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取得极小值，求 a 的取值范围．

15．（6 分）已知 $\lambda \in R$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-4, x \geqslant \lambda \\ x^{2}-4 x+3, x<\lambda\end{array}\right.$ ，当 $\lambda=2$ 时，不等式 $f(x) <0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $\{x \mid 1

16．（4分）从1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 $0,2,4,6$ 中任取 2 个数字，一共可以组成 $\_\_\_\_$ 1260个没有重复数字的四位数。（用数字作答）

21．（15 分）如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 上存在不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 满足 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的中点均在 C 上。
（ I ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
（II）若 $P$ 是半椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad(x<0)$ 上的动点，求 $\triangle P A B$ 面积的取值范围．

22．（15分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\ln \mathrm{x}$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=x_{1}, x_{2}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 处导数相等，证明：$f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>$ 8－8ln2；
（II）若 $\mathrm{a} \leqslant 3-4 \ln 2$ ，证明：对于任意 $\mathrm{k}>0$ ，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{a}$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有唯一公共点．