分类不全高考易错题

15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．

16．有 6 个相同的球，分别标有数字 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ ，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球．记 $m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是

21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

20．设函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 图象上点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ，证明 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\frac{1}{2}}$ ．

14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$。

19．设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}(i（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)-$ 可分数列；
（3）从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 i 和 $j(i\frac{1}{8}$ ．

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

15．设 $a>0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x<-a, \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}},-a \leq x \leq a, \text { 给出下列四个结论：} \\ -\sqrt{x}-1, x>a .\end{array}\right.$
①$f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递减；
（2）当 $a \geq 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；
③设 $M\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1} \leq a\right), N\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{2}>a\right)$ ，则 $|M N|>1$ ；
④设 $P\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)\left(x_{3}<-a\right), Q\left(x_{4}, f\left(x_{4}\right)\right)\left(x_{4} \geq-a\right)$ 。若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

其中所有正确结论的序号是

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

20．设函数 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
②设函数 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间；
（3）求 $f(x)$ 的极值点个数．

9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）

20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．

21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

13．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6}=7 S_{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\_\_\_\_$ ．

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．

10．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，集合 $S=\left\{\cos a_{n} \mid n \in \mathrm{~N}^{*}\right\}$ ，若 $S=\{a, b\}$ ，则 $a b=$（ ）

20．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点（－2，3）的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明

理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2}=11, S_{10}=40$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。

19．已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $a>0$ 时，$f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ ．

21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ．
（1）求 $W$ 的方程；
（2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．

8．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4}=-5, S_{6}=21 S_{2}$ ，则 $S_{8}=$（）。

12．在信道内传输 0,1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率为 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，收到 0 的概率为 $1-\alpha$ ；发送 1 时，收到 0 的概率为 $\beta(0<\beta<1)$ ，收到 1 的概率为 $1-\beta$ ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输。单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $1,0,1$ ，则译码为 1 ）。

18．$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{4}=32, \quad T_{3}=16$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n>5$ 时，$T_{n}>S_{n}$ ．

22．（1）证明：当 $0（2）已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^{2}\right)$ ，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

14．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x

15．己知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n}=9(n=1,2, \cdots)$ 。给出下列四个结论：
①$\left\{a_{n}\right\}$ 的第 2 项小于 3；
②$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
③$\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列；
④$\left\{a_{n}\right\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．

其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：

甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5 ， $0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．

14．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。