（13分）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时…——2026 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①第一四分位数为370，中位数为381；

> ②(i) 0.15；(ii) $E { \big ( } X { \big ) } = 1 5 , D { \big ( } X { \big ) } = 1 2 . 7 5$

【解析】

【分析】①根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；

> ②根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解.【小问1详解】 ba

由直方图可知，[345,365]的频率为 $0 . 0 1 5 { \times } 1 0 = 0 . 1 5 < 0 . 2 5$ ，

[345,375]的频率为 $0 . 0 3 5 { \times } 1 0 = 0 . 3 5 > 0 . 2 5$

故第一四分位数在[365,375]上，设为x，则 $( x - 3 6 5 ) \times 0 . 0 2 + 0 . 1 5 = 0 . 2 5$ ，解得 $x = 3 7 0$

[345,375]的频率为 $0 . 0 3 5 \times 1 0 = 0 . 3 5 < 0 . 5$

[345,385]的频率为 $0 . 0 6 \times 1 0 = 0 . 6 > 0 . 5$

故中位数在[375,385]上，设为y，则 $( y - 3 7 5 ) \times 0 . 0 2 5 + 0 . 3 5 = 0 . 5$ ，解得y=381.

故第一四分位数为370，中位数为381;

【小问2详解】

由直方图可知，小于365天的频率为 $( 0 . 0 0 5 + 0 . 0 1 ) \times 1 0 = 0 . 1 5$ ，故 $\hat { p } = 0 . 1 5$

根据二项分布的期望和方差公式，

$$ E ( X ) = 1 0 0 \times 0 . 1 5 = 1 5 , D ( X ) = 1 0 0 \times 0 . 1 5 \times 0 . 8 5 = 1 2 . 7 5 $$