用样本估计总体　·　历年高考数学真题与解析

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

4．某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表

据表中数据，结论中正确的是（

17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_{i}, y_{i}(i=1,2, \cdots 10)$ ，试验结果如下

记 $z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$ ，记 $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，

（1）求 $\bar{z}, s^{2}$ ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）。

17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_{i}, y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$ ．试验结果如下：

记 $z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$ ，记 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ．
（1）求 $\bar{z}, s^{2}$ ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，

否则不认为有显著提高）

19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
$\begin{array}{llllllllll}15.2 & 18.8 & 20.2 & 21.3 & 22.5 & 23.2 & 25.8 & 26.5 & 27.5 & 30.1\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}32.6 & 34.3 & 34.8 & 35.6 & 35.6 & 35.8 & 36.2 & 37.3 & 40.5 & 43.2\end{array}$
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

$\begin{array}{llllllllll}7.8 & 9.2 & 11.4 & 12.4 & 13.2 & 15.5 & 16.5 & 18.0 & 18.8 & 19.2\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}19.8 & 20.2 & 21.6 & 22.8 & 23.6 & 23.9 & 25.1 & 28.2 & 32.3 & 36.5\end{array}$
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（i）求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 $m$ ，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据的个数，完成如下列联表

（ii）根据（i）中的列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$ ，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p(c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q(c)$ ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 $p(c)=0.5 \%$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q(c)$ ；
②设函数 $f(c)=p(c)+q(c)$ ，当 $c \in[95,105]$ 时，求 $f(c)$ 的解析式，并求 $f(c)$ 在区间 $[95,105]$ 的最小值。

18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上 （含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）：

甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
②设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

4．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa ）的分组区间为 $[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]$ ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，$\ldots$ ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ）

17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ．
（1）求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
$\bar{y}-\bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）。

4.

从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其评分分数据，将所得 400 个评分数据分为 8 组：$[66,70),[70,74), \cdots$ 、 $[94,98]$ ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 $[82,86)$ 内的影视作品数量是（ ）

17．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 $A, B, C, D$ 四个等级．加工业务约定：对于 $A$ 级品、 $B$ 级品、 $C$ 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元， 50 元， 20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元。该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务。甲分厂加工成本费为 25 元／件，乙分厂加工成本费为 20 元／件。厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

18．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（II）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；
（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小。（结论不要求证明）

18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60$ ，

$ \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=800 . $

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{2}=1.414$ ．

3．设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差为 0.01 ，则数据 $10 x_{1}, 10 x_{2}, \ldots, 10 x_{n}$ 的方差为

17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 $A, B$ 两组，每组 100 只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液，$B$ 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

甲高子残筒百分比直方图

乙髙子残留百分比直方图

记 $C$ 为事件：＂乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5 ＂，根据直方图得到 $P(C)$ 的估计值为 0.70 ．
（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a, b$ 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。

17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 $A, B$ 两组，每组 100 只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液，$B$ 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记 $C$ 为事件：＂乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5 ＂，根据直方图得到 $P(C)$ 的估计值为 0.70 ．
（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a, b$ 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。

19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 $y$ 的频数分布表。

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 $40 \%$ 的企业比例、产值负增长的企业比例 ；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到 0.01 ）

附：$\sqrt{74} \approx 8.602$ ．

5．已知一组数据 $6,7,8,8,9,10$ ，则该组数据的方差是 $\boldsymbol{A}$ ．

17．（13 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（II）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（III）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1 ，哪类电影的好评率减少 0.1 ，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： $\mathrm{m}^{3}$ ）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表

（1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35 \mathrm{~m}^{3}$ 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

17．（13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：$[20,30),[30,40), \ldots[80,90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

（I）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；
（II）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间［ 40 ， 50）内的人数；
（III）已知样本中有一半男生的分数不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等。试估计总体中男生和女生人数的比例。

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：

经计算得 $\quad \bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \bar{x}^{2}\right)} \approx 0.212$ ， $\sqrt{\sum_{i=1}^{16}(i-8.5)^{2}} \approx 18.439, \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right) \quad(i-8.5)=-2.78$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$个零件的尺寸， $\mathrm{i}=1,2, \ldots, 16$ ．
（1）求（ $x_{i}, i$ ）（ $i=1,2, \ldots, 16$ ）的相关系数 $r$ ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $|r|<0.25$ ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）。
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ $\overline{\mathrm{x}}-3 \mathrm{~s}, \overline{\mathrm{x}}+3 \mathrm{~s}$ ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）在（ $\bar{x}-3 s, \bar{x}+3 s$ ）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差。（精确到0．01）

附：样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, n)$ 的相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ，$\sqrt{0.008} \approx 0.09$ ．

16、（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5), ~[0.5,1), ~ \cdots \cdots$ ［4，4．5］分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中的 $a$ 值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明理由；
（III）估计居民月均用水量的中位数．

16．（本小题满分 12 分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$（吨）、一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费。为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5),[0.5,1), \cdots,[4,4.5)$ 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中 $a$ 的值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使 $85 \%$ 的居民每月的用水量不超过标准 $x$（吨），估计 $x$ 的值，并说明理由．

16．（13 分）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

（I）试估计 C 班的学生人数；
（II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7， 9， 8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 $\mu_{1}$ ，表格中数据的平均数记为 $\mu_{0}$ ，试判断 $\mu_{0}$ 和 $\mu_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

17．（13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元／立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元／立方米收费，从该市

随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：

（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 $80 \%$ 以上居民在该月的用水价格为 4 元／立方米， w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费．

18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：＂一续保人本年度的保费不高于基本保费＂．求P（A）的估计值；
（II）记B为事件：＂一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的1 $60 \%$＂．求 P （B）的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值．

3．（5分）（2016•山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17．5，30］，样本数据分组为［17．5， 20 ），［20，22．5），［22．5，25），［25，27．5），［27．5，30］．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）

4．（ 5 分）（ $2016 \cdot$ 江苏）已知一组数据 $4.7,4.8,5.1,5.4,5.5$ ，则该组数据的方差是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

12．在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 $1 \sim 35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间［139，151］上的运动员人数是 $\_\_\_\_$ ．

14．某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额
（单位：万元）都在区间［0．3，0．9］内，其频率分布直方图如图所示．
（I）直方图中的 $a=$ $\_\_\_\_$ ；
（II）在这些购物者中，消费金额在区间［0．5，0．9］内的购物者的人数为 $\_\_\_\_$ ．

17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中＂ V ＂表示购买，＂$\times$＂表示未购买．

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

17．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, ~ 180$ ），［ 180,200 ），［ 200,220 ），［220．240），［ 240,260 ），［ 260,280 ），［ 280,300 ）分组的频率分布直方图如图。

（1）求直方图中 x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，［220，240），［240，260），［260，280），［280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取多少户？

18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

$A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

$B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表

（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由。

19．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（I）在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（II）西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

2．我国古代数学名著《九章算术》有＂米谷粒分＂题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1.534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为

2．我国古代数学名著《九章算术》有＂米谷粒分＂题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为

2、在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图 I 所示；

若将运动员按成绩由好到差编为 $1 \sim 35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间［139，151］上的运动员人数为（

17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40,50],[50,60], \cdots,[80,90],[90,100]$
（I）求频率分布图中 $a$ 的值；
（II）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（III）从评分在 $[40,60]$ 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 $[40,50]$ 的概率．

17．（本小题满分 13 分）
某车间 20 名工人年龄数据如下表：

（1）求这 20 名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图；
（3）求这 20 名工人年龄的方差。

17．（本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
$(a, b),(a, \vec{b}),(a, b),(\vec{a}, b),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, b),(a, \vec{b})$,
$(\vec{a}, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, b),(a, b)$

其中 $a, \vec{a}$ 分别表示甲组研发成功和失败；$b, \vec{b}$ 分别表示乙组研发成功和失败。
（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记 1 分，否记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．

17．（本小题满分 13 分．（I）小问 4 分，（II）小问 4 分，（III）小问 5 分）
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（I）求频率分布直方图中 $a$ 的值；
（II）分别球出成绩落在［50，60）与［60，70）中的学生人数；
（III）从成绩在 $[50,70)$ 的学生中人选 2 人，求此 2 人的成绩都在 $[60,70)$ 中的概率．

18．（13 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（I）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；
（II）求频率分布直方图中的 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值；
（III）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

18．（12分）从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合＂质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 $80 \%$ 的规定？

20．（（本小题满分 12 分）
根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为 1035－4085 元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为4085－12616美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家。某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：

（1）判断该城市。人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
（2）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．

6.

设抽测的树木的底部周长均在区间［80，130］上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 6 0 株树木中，有 $\_\_\_\_$株树木的底部周长小于 100 cm 。

（8）
为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为 $[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]$ ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯⋯，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为

9．某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ ，其均值和方差分别为 $\bar{x}$ 和 $\mathrm{s}^{2}$ ，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）

9．设样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ 的均值和方差分别为 1 和 4 ，若 $y_{i}=x_{i}+a$（ $a$ 为非零常数，$i=1,2, \cdots, 10$ ），则 $y_{1}, y_{2}, \cdots y_{10}$ 的均值和方差分别为

11．从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示。
（1）直方图中 x 的值为 $\_\_\_\_$；
（2）在这些用户中，用电量落在区间 $[100,250)$ 内的户数为 $\_\_\_\_$．

17．（2013广东，文17）（本小题满分 12 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（1）根据频数分布表计算苹果的重量在［90，95）的频率；

（2）用分层抽样的方法从重量在［80，85）和［95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在［80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在［80，85）和［95，100）中各有 1 个的概率．

（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 $\_\_\_\_$．

（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 $\_\_\_\_$．

17．（12分）（ $2013 \cdot$ 广东）某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率．

19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 号损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以X（单位： $\mathrm{t}, 100 \leq \mathrm{X} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（I）将 T 表示为 X 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率．

4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩
分成 6 组：$[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]$ 加以统计，
得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为

5．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间 $[20,25)$ 上的为一等品，在区间 $[15,20)$ 和区间 $[25,30)$ 上的为二等品，在区间 $[10,15)$和 $[30,35)$ 上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为

（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，

数据的分组一次为 $[20,40),[40,60),[60,80), 8[20,100)$．
若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是

（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，

数据的分组一次为 $[20,40),[40,60),[60,80), 8[20,100)$．
若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是

7、某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为 5 将数据分组成 $[0,5),[5,10), \cdots,[30,35),[35,40]$ 时，所作的频率分布直方图是

13．图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 $\_\_\_\_$。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\mathrm{L}+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，

其中 $\bar{X}$ 为 $X_{1}, X_{2}, \mathrm{~L}, X_{n}$ 的平均数）

图2

17．（本小题满分 12 分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示：

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 $55 \%$ 。
（1）确定 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．（将频率视为概率）

17．（本小题满分 13 分）
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，
（1）求图中 x 的值；
（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人， 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的数学期望。

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在＂厨余垃圾＂箱、＂可回收物＂箱、＂其他垃圾＂箱的投放量分别为 $a, b, c$ ，其中 $a>0, a+b+c=600$ ．当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出

$a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值。
（求： $\mathrm{S}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots$ ， $x_{n}$ 的平均数）

17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在＂厨余垃圾＂箱、＂可回收物＂箱、＂其他垃圾＂箱的投放量分别为 $a, b, c$ ，其中 $a>0, a+b+c=600$ ．当数据 $a, b, c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出 $a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值．
（求： $\mathrm{S}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots$ ， $x_{n}$ 的平均数）

19．（本小题满分 12 分）
假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两

种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如下：


（I）估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率；
（II）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率

（18）（本小题满分 13 分）
若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： mm ），将所得数据分组，得到如下频率分布表：

（I）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；
（II）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（ 1,3 ］内的概率；
（III）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（II）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率．

2．容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表

则样本数据落在区间［10，40］的频率为
A 0.35
B 0.45
C 0.55
D $\quad 0.65$

1．有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：
$[11.5,15.5) 2[15.5,19.5) 4[19.5,23.5) 9[23.5,27.5) 18[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5 .39 .5) 7[39.5,43.5) 3$ 根据样本的频率分布估计，数据落在 ［31．5，43．5）的概率约是

13．（4分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 $\_\_\_\_$ 600。

15．编号为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

（I）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

（II）从得分在区间［ 20,30 ）内的运动员中随机抽取 2 人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率

2．有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：

根据样本的频率分布估计，大于或等于 31.5 的数据约占

6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 $10,6,8,5,6$ ，则该组数据的方差 $s^{2}=$
$\_\_\_\_$ A ．

11．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 $a=$ $\_\_\_\_$ 0.03

－若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为 $\_\_\_\_$ 3。

（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：

（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（II）能否有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（III）根据（II）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

$ K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $

（13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 $1: 2: 1$ ，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用

寿命的平均值分别为 $980 \mathrm{~h}, 1020 \mathrm{~h}, 1032 \mathrm{~h}$ ，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 $\_\_\_\_$ h．

18．（本小题满分 13 分）

随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位： cm ），获得身高数据的茎叶图如图7。

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm的同学被抽中的概率。

（18）（本小题满分12分）
某工厂有工人 1000 名，
其中 250 名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2。
表1：

表2：

（i）先确定 $x$ ，$y$ ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，$A$ 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

田1 A类工人生产部动繭夜事分布直方原

席2 B类工人生产龍力的频率分布直方阅

（ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（19）（本小题满分12分）
某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为B类工人）。现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（I）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（II）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：

表2：

（1）先确定 $x, y$ ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

面 $1 \quad a$ 类工人生产能力的线率分布直方管

㠇2 B尖工人生产治力的斯丰分寿苴方图

（ii）分别估计 $A$ 类工人和 $B$ 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。

17．（本小题满分 12 分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

API	0 ～ 50	$51 \sim 100$	$101 \sim 150$	151 ～ 200	201 ～ 250	251 ～ 300	＞ 300
级别	I	II	III $_{1}$	III ${ }_{2}$	$\mathrm{IV}_{1}$	$\mathrm{I}_{2}$	V
状况	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染

对某城
市一年（365
天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间
［0，50］，（50，100］，（100，
进行分组，得
到频率分布直方图如图5
（1）求直方图中 $x$ 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数
（3）求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微概率。
（结果用分数表示．已知 $5^{7}=78125,2^{7}=128$ ，
$\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{123}{9125}$,
$365=73 \times 5$ ）

图5

；
污染的

6．某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 $1,2,3,4,5$ 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：

则以上两组数据的方差中较小的一个为 $S^{2}=$ $\_\_\_\_$。

19、（本小题满分 12 分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下： $5,6,7,8,9,10$ 。把这 6 名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。