17．（10分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 所对的边长分别为 $a , b , c$ ，且 $a \cos B=3, b \sin \mathrm{A}=4$ ．
（I）求边长 a ；
（ II ）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=10$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长I．
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（10分）设 A B C 的内角 A、 B、 C 所对的边…——2008 高考数学第 17 题答案解析
2008_旧全国 I 卷 (2008·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】HR：余弦定理．
【专题】11：计算题．
【分析】（I）由图及已知作 CD 垂直于 AB ，在直角三角形 BDC 中求 BC 的长．
（II）由面积公式解出边长 c ，再由余弦定理解出边长 b ，求三边的和即周长．
【解答】解：（I）过 $C$ 作 $C D \perp A B$ 于 $D$ ，则由 $C D=b \sin A=4, ~ B D=a \cos B=3$
∴ 在Rt $\triangle \mathrm{BCD}$ 中， $\mathrm{a}=\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}}=5$
（II）由面积公式得 $S=\frac{1}{2} \times A B \times C D=\frac{1}{2} \times A B \times 4=10$ 得 $A B=5$
又 $a \cos B=3$ ，得 $\cos B=\frac{3}{5}$
由余弦定理得：$b=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B}=\sqrt{25+25-2 \times 25 \times \frac{3}{5}}=2 \sqrt{5}$
$\triangle A B C$ 的周长 $\mathrm{I}=5+5+2 \sqrt{5}=10+2 \sqrt{5}$
答：（I）$a=5$ ；（II）$l=10+2 \sqrt{5}$
【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理．
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_旧全国 I 卷 (2008·文) · 第 17 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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