余弦定理　·　历年高考数学真题与解析

5． 在 $\triangle A B C$ 中，$B C=2, A C=1+\sqrt{3}, A B=\sqrt{6}$ ，则 $A=$

15．记 $\triangle A B C$ 内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C=\sqrt{2} \cos B, a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2} a b$
（1）求 $B$ ；
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$ ，求 $c$ ．

16．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos B=\frac{9}{16}, b=5, \frac{a}{c}=\frac{2}{3}$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）求 $\sin A$ ；
（3）求 $\cos (B-2 A)$ ．

11．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，$A B=4, P C=P D=3, \angle P C A=45^{\circ}$ ，则 $\triangle \mathrm{PBC}$ 的面积为（ ）

16．在 $\triangle A B C$ 中，$A B=2, \angle B A C=60^{\circ}, B C=\sqrt{6}, D$ 为 $B C$ 上一点，$A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则
$A D=$ $\_\_\_\_$。

17．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{\cos A}=2$ ．
（1）求 $b c$ ；
（2）若 $\frac{a \cos B-b \cos A}{a \cos B+b \cos A}-\frac{b}{c}=1$ ，求 $\triangle A B C$ 面积．

17．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}, D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D=1$ ．
（1）若 $\angle A D C=\frac{\pi}{3}$ ，求 $\tan B$ ；
（2）若 $b^{2}+c^{2}=8$ ，求 $b, c$ ．

18．在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\angle B A C=120^{\circ}, A B=2, A C=1$ ．
（1）求 $\sin \angle A B C$ ；
（2）若 $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\angle B A D=90^{\circ}$ ，求 $\triangle A D C$ 的面积．

7．在 $\triangle A B C$ 中，$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$ ，则 $\angle C=$（ ）

8．已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}, O$ 为底面圆心，$P A, P B$ 为圆锥的母线，$\angle A O B=120^{\circ}$ ，若 $\triangle P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为

16．在 $\triangle A B C$ 中， $\sin 2 C=\sqrt{3} \sin C$ ．
（1）求 $\angle C$ ；
（2）若 $b=6$ ，且 $\triangle A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

16．已知 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，$\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D=$ $\_\_\_\_$ ．

18．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，已知 $S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin B=\frac{1}{3}$ ．
（1）求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\sin A \sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$ 。

18．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $4 a=\sqrt{5} c, \cos C=\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $\sin A$ 的值；
（2）若 $b=11$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

11.

我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别是 3 ， 4 ，记大正方形的面积为 $S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B=60^{\circ}, A B=2, M$ 是 $B C$ 的中点，$A M=2 \sqrt{3}$ ，则 $A C=$ $\_\_\_\_$ ，
$\cos \angle M A C=$ $\_\_\_\_$ ．

15．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $\sqrt{3}, \quad B=60^{\circ}$ ， $a^{2}+c^{2}=3 a c$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

15．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $\sqrt{3}, B=60^{\circ}, a^{2}+c^{2}=3 a c$ ，则 $b=$

19．记 $\triangle A B C$ 是内角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b^{2}=a c$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D \sin \angle A B C=a \sin C$.
（1）证明：$B D=b$ ；
（2）若 $A D=2 D C$ ，求 $\cos \angle A B C$ ．

8．在 $\triangle A B C$ 中，已知 $B=120^{\circ}, A C=\sqrt{19}, A B=2$ ，则 $B C=$（）

11．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos C=\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$ ，则 $\tan B=$（ ）

16．如图，在三棱锥 $P-$
$A B C$ 的平面展开图中，$A C=1, A B=A D=\sqrt{3}, A B \perp A C, A B \perp A D, \angle C A E=30^{\circ}$ ，则 $\cos \angle F C B=$ $\_\_\_\_$ ．

17．$\triangle A B C$ 中， $\sin ^{2} A-\sin ^{2} B-\sin ^{2} C=\sin B \sin C$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）若 $B C=3$ ，求 $\triangle A B C$ 周长的最大值．

17．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+A\right)+\cos A=\frac{5}{4}$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）若 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，证明：$\triangle A B C$ 是直角三角形．

18．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $B=150^{\circ}$ ．
（1）若 $a=\sqrt{3} c, b=2 \sqrt{7}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\sin A+\sqrt{3} \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $C$ ．

7．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos C=\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$ ，则 $\cos B=$（ ）

11．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin A-b \sin B=4 c \sin C, \cos A=-\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}=$

12．已知三棱锥 $P$－
$A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$P A=P B=P C, \triangle A B C$ 是边长为 2 的正三角形，$E, F$ 分别是 $P A, P B$ 的中点，$\angle C E F=90^{\circ}$ ，则球 $O$ 的体积为

15．（本小题满分 14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．
（1）若 $a=3 c, b=\sqrt{2}, \cos B=\frac{2}{3}$ ，求 $c$ 的值；
（2）若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)$ 的值．

15．V $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 。若 $b=6, a=2 c, B=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\mathrm{V} A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ．

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b-c=2, \cos B=-\frac{1}{2}$ ．
（I）求 $b, c$ 的值；
（II）求 $\sin (B+C)$ 的值．

17． $\mathrm{V} A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $(\sin B-\sin C)^{2}=\sin ^{2} A-\sin B \sin C$.
（1）求 $A$ ；
（2）若 $\sqrt{2} a+b=2 c$ ，求 $\sin C$ ．

8．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3,3 \sin A=2 \sin B$ ，且 $\cos C=\frac{1}{4}$ ，则 $A B=$ $\_\_\_\_$

8．（5 分）如图，$A, B$ 是半径为 2 的圆周上的定点，$P$ 为圆周上的动点，$\angle A P B$ 是锐角，大小为 $\beta$ ，图中阴影区域的面积的最大值为（）

11．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{4}$ ，则 $\mathrm{C}=(\quad)$

16．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $b \sin C+c \sin B=4 a \sin B \sin C, b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

（16）（本小题满分 13 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A=a \cos \left(B-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
（I）求教 $B$ 的大小；
（II）设 $a=2, c=3$ ，求 $b$ 和 $\sin (2 A-B)$ 的值．

6．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=5$ ，则 $\mathrm{AB}=$（ ）

7．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=5$ ，则 $\mathrm{AB}=$（ ）

9．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$ ，则 $C=(\quad)$

17．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin (A+C)=8 \mathrm{si} \mathrm{n}^{2} \frac{\mathrm{~B}}{2}$ ．
（1）求 $\cos \mathrm{B}$ ；
（2）若 $\mathrm{a}+\mathrm{c}=6, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 2 ，求 b ．

15．（13分）在 $\triangle A B C$ 中，$a^{2}+c^{2}=b^{2}+\sqrt{2} a c$ 。
（I）求 $\angle \mathrm{B}$ 的大小；
（II）求 $\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \mathrm{C}$ 的最大值．

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ ．
（I）证明： $\sin A \sin B=\sin C$ ；
（II）若 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{6}{5} b c$ ，求 $\tan B$ ．

18、（本题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ ．
（I）证明： $\sin A \sin B=\sin C$ ；
（II）若 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{6}{5} b c$ ，求 $\tan B$ ．

3．（5分）（2016•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{AB}=\sqrt{13}, \mathrm{BC}=3, \angle \mathrm{C}=120^{\circ}$ ，则 $\mathrm{AC}=$（）

4．（5分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ．已知 $a=\sqrt{5}, c=2, \cos A =\frac{2}{3}$ ，则 $\mathrm{b}=$（ ）

9．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{B}=\frac{\pi}{4}, \mathrm{BC}$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} \mathrm{BC}$ ，则 $\sin \mathrm{A}=$（）

12．若锐角 $\triangle A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，且 $A B=5, A C=8$ ，则 $B C$ 等于 $\_\_\_\_$ ．

12．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=4, b=5, c=6$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin C}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

13．设 $\triangle A B C$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a=2, \cos C=-\frac{1}{4}, 3 \sin A=2 \sin B$ ，则 $\mathrm{c}=$ $\_\_\_\_$ ．

17．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，向量 $\vec{m}=(a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n}=(\cos A, \sin B)$ 平行．
（I）求 $A$；
（II）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ 求 $\triangle A B C$ 的面积．

17．（12分）已知 $a, b, c$ 分别是 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边， $\sin ^{2} B=2 \sin A \sin C$ ．
（I）若 $a=b$ ，求 $\cos B$ ；
（II）设 $B=90^{\circ}$ ，且 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

17．（本小题满分 12 分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$， C 所对的边分别为 $a, b, c$。向量 $\vec{m}=(a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n}=(\cos \mathrm{A}, \sin \mathrm{B})$ 平行。
（I）求 A；
（II）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ 求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积．

19．如图，$A, B, C, D$ 为平面四边形 ABCD 的四．个内角．
（1）证明： $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$ ；

（2）若 $A+C=180^{\circ}, A B=6, B C=3, C D=4, A D=5$ ，求 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$ 的值．

20、（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三地有直道相通， $\mathrm{AB}=5$ 千米， $\mathrm{AC}=3$ 千米， $\mathrm{BC}=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米／小时．乙到达 B 地后原地等待。设 $t=t_{1}$ 时乙到达 C 地。 。

（1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, 1\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．

21．（本小题14分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．

如图，$O, P, Q$ 三地有直道相通，$O Q=5$ 千米，$O P=3$ 千米，$P Q=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 $O$ 地出发匀速前往 $Q$ 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米） ．甲的路线是 $O Q$ ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 $O P Q$ ，速度为 8 千米／小时．乙到达 $Q$地后原地等待．设 $t=t_{1}$ 时乙到达 $P$ 地；$t=t_{2}$ 时，乙到达 $Q$ 地．
（1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．

5．（5分）（2015•广东）设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $a=2, c=2 \sqrt{3}$ ， $\cos \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．且 $\mathrm{b}<\mathrm{c}$ ，则 $\mathrm{b}=$

12．如图 3，已知 $A B, B C$ 是 $\odot O$ 的两条弦，$A O \perp B C, A B=\sqrt{3}, B C=2 \sqrt{2}$ ，则 $\odot O$ 的半径等于 $\_\_\_\_$ ．

图3

12．（ 5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2, \cos \mathrm{C}=\frac{1}{4}$ ，则 $\mathrm{c}=$ $\_\_\_\_$ 2 ； $\sin \mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{15}}{8}$ $\_\_\_\_$ ．

14．在 $\triangle A B C$ 中，$A=60^{\circ}, A C=2, B C=\sqrt{3}$ ，则 $A B$ 等于 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$，且 $a>c$，已知 $\overrightarrow{B A} \bullet \overrightarrow{B C}=2, \cos B=\frac{1}{3}, b=3$，求：
①$a$ 和 $c$ 的值；
② $\cos (B-C)$ 的值．

18．如图 5，在平面四边形 $A B C D$ 中，$A D=1, C D=2, A C=\sqrt{7}$ ．

（1）求 $\cos \angle C A D$ 的值；
②．若 $\cos \angle B A D=-\frac{\sqrt{7}}{14}, \sin \angle C B A=\frac{\sqrt{21}}{6}$ ，求 $B C$ 的长．

19．（本小题满分 13 分）如图 4，在平面四边形 $A B C D$ 中，
$D A \perp A B, D E=1, E C=\sqrt{7}, E A=2, \angle A D C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B E C=\frac{\pi}{3}$
（1）求 $\sin \angle C E D$ 的值；
（2）求 $B E$ 的长

图4

4．（5分）已知正四面体 $A B C D$ 中，$E$ 是 $A B$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为

4．（5分）钝角三角形 ABC 的面积是 $\frac{1}{2}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{AC}=$（）

10．（5分）已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, 23 \cos ^{2} A+\cos 2 A=0, a=7, c=6$ ，则 $b=$

13．如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知点 $D$ 在 $B C$ 边上，$A D \perp A C, \sin \angle B A C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A B=3 \sqrt{2}, A D=3$，则 $B D$ 的长为 $\_\_\_\_$

15．（2013广东，文15）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=\sqrt{3}, B C=3, B E \perp A C$ ，垂足为 $E$ ，则 $E D=$ $\_\_\_\_$。

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$．已知 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$．
（I）求角 $A$ 的大小；
（II）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=5 \sqrt{3}, b=5$，求 $\sin B \sin C$ 的值．

17．（12分）$\triangle A B C$ 在内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a=b \cos C+c \sin B$
（I）求B；
（II）若 $b=2$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的最大值．

17、（本小题满分 12 分）
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a+c=6, b=2, \cos B=\frac{7}{9} .$.
（I）求 $a, c$ 的值；
（II）求 $\sin (A-B)$ 的值．

17．（12分）如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1, P$ 为 $\triangle A B C$ 内一点 ，$\angle B P C=90^{\circ}$ ．
（1）若 $\mathrm{PB}=\frac{1}{2}$ ，求 PA ；
（2）若 $\angle A P B=150^{\circ}$ ，求 $\tan \angle P B A$ ．

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 $a=2, b+c=7, \cos B=-\frac{1}{4}$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ 4 ．

11．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ ，所对的边分别是 $a, b$ ，c．若（a＋b－c）（a＋b＋c）$=a b$ ，则角 $\mathrm{C}=$ $\_\_\_\_$ ．

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 $\_\_\_\_$。

正（主）衩圈

解（左）栱區

德根图

第（12）题目

（13）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，且 $a=1, b=2, \cos C=\frac{1}{4}$ ，则 $\sin B=$ $\_\_\_\_$

8．在 $\mathrm{D} A B C$ 中，$A C=\sqrt{7}, B C=2, B=60^{\circ}$ ，则 $B C$ 边上的高等于（ ）

8．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若三边的长为连续的三个正整数，且 $A>B>C, \quad 3 b=20 a \cos A$ ，则 $\sin A: \sin B: \sin C$ 为（ ）

15．（5分）$\triangle A B C$ 中，$\angle B=120^{\circ}, A C=7, A B=5$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$。

15．（本小题满分 14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．
（1）若 $\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)=2 \cos A$ ，求 $A$ 的值；
（2）若 $\cos A=\frac{1}{3}, b=3 c$ ，求 $\sin C$ 的值．

16.

在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B=C, 2 b=\sqrt{3} a$ ．
（I）求 $\cos A$ 的值；
（II） $\cos \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值．

16．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$B=60^{\circ}, A C=\sqrt{3}$ ，则 $A B+2 B C$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$ 。

17．（12分）（2011 • 山东）在 ABC 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\frac{\cos \mathrm{A}-2 \cos \mathrm{C}}{\cos \mathrm{B}}=\frac{2 \mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$
（I）求 $\frac{\sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}}$ 的值；
（II）若 $\cos \mathrm{B}=\frac{1}{4}, \mathrm{~b}=2$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 S ．

（16）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 为 BC 边上一点，$B C=3 B D, A D=\sqrt{2}, \angle A D B=135^{\circ}$ ．若 $A C=\sqrt{2} A B$ ，则 $\mathrm{BD}=$ $\_\_\_\_$。

6．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ．若 $\angle C=120^{\circ}, c=\sqrt{2} a$ ，则

（7）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，若 $a^{2}-b^{2}=\sqrt{3} b c$ ， $\sin C=2 \sqrt{3} \sin B$ ，则 $\mathrm{A}=$

7． $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是等腰直角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 斜边 AB 上的三等分点，则 $\tan \angle E C F=$

11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的＂直径＂，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的＂周率＂，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}, \tau_{4}$ ，则下列关系中正确的为

14．在体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ 的球的表面上有 $A, B, C$ 三点，$A B=1, B C=\sqrt{2}, A, C$ 两点的球面距离

为 $\frac{\sqrt{3}}{3} \pi$ ，则球心到平面 $A B C$ 的距离为 $\_\_\_\_$ .

17．（10分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 所对的边长分别为 $a , b , c$ ，且 $a \cos B=3, b \sin \mathrm{A}=4$ ．
（I）求边长 a ；
（ II ）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=10$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长I．

17．（12 分）（2008•四川）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 对边的边长分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $a^{2}+c^{2}=2 b^{2}$ ．

（I）若 $\mathrm{B}=\frac{\pi}{4}$ ，且 A 为钝角，求内角 A 与 C 的大小；
（II）求 $\sin \mathrm{B}$ 的最大值。

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）

7．在 $\triangle A B C$ 中， $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{10}$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$