己知椭圆 x^ 2 9 + y^ 2 6 =1, F_ 1…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B
【解析】
**方法一**：根据焦点三角形面积公式求出 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积，即可得到点 $P$ 的坐标，从而得出 $|O P|$ 的值；

**方法二**：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 $\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|,\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}$ ，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；

**方法三**：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}$ ，即可根据中线定理求出．
**方法一**：设 $\angle F_{1} P F_{2}=2 \theta, 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=b^{2} \tan \frac{\angle F_{1} P F_{2}}{2}=b^{2} \tan \theta$ ，
由 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\cos 2 \theta=\frac{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{3}{5}$ ，解得： $\tan \theta=\frac{1}{2}$ ，
由椭圆方程可知，$a^{2}=9, b^{2}=6, c^{2}=a^{2}-b^{2}=3$ ，
所以，$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2} \times\left|F_{1} F_{2}\right| \times\left|y_{p}\right|=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times\left|y_{p}\right|=6 \times \frac{1}{2}$ ，解得：$y_{p}^{2}=3$ ，
即 $x_{p}^{2}=9 \times\left(1-\frac{3}{6}\right)=\frac{9}{2}$ ，因此 $|O P|=\sqrt{x_{p}^{2}+y_{p}^{2}}=\sqrt{3+\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{2}$ ．
故选：B．
**方法二**：因为 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a=6$①，$\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right| \angle F_{1} P F_{2}=\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}$ ，

即 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-\frac{6}{5}\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=12$②，联立①②，
解得：$\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=\frac{15}{2},\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=21$ ，
而 $\overrightarrow{P O}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{P F_{1}}+\overrightarrow{P F_{2}}\right)$ ，所以 $|O P|=|\overrightarrow{P O}|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{P F_{1}}+\overrightarrow{P F_{2}}\right|$ ，
即 $|\overrightarrow{P O}|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{P F_{1}}+\overrightarrow{P F_{2}}\right|=\frac{1}{2} \sqrt{\left|\overrightarrow{P F_{1}}\right|^{2}+2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}+\left|\overrightarrow{P F_{2}}\right|^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{21+2 \times \frac{3}{5} \times \frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{2}$ ，
故选：B．
**方法三**：因为 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a=6$①，$\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right| \angle F_{1} P F_{2}=\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}$ ，即 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-\frac{6}{5}\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=12$②，联立①②，解得：$\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=21$ ，

由中线定理可知，$(2|O P|)^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}=2\left(\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}\right)=42$ ，易知 $\left|F_{1} F_{2}\right|=2 \sqrt{3}$ ，解得：$|O P|=\frac{\sqrt{30}}{2}$ ．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．