已知椭圆 C 的焦点为 F_ 1 (-1,0), F_ 2…——2019 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】
可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 $\left|F_{2} B\right|=n$ ，则 $\left|A F_{2}\right|=2 n,\left|B F_{1}\right|=|A B|=3 n$ ，由椭圆的定义有 $2 a=\left|B F_{1}\right|+\left|B F_{2}\right|=4 n, \therefore\left|A F_{1}\right|=2 a-\left|A F_{2}\right|=2 n$ 。在 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 和 $\triangle B F_{1} F_{2}$中，由余弦定理得 $\left\{\begin{array}{l}4 n^{2}+4-2 \cdot 2 n \cdot 2 \cdot \cos \angle A F_{2} F_{1}=4 n^{2} \\ n^{2}+4-2 \cdot n \cdot 2 \cdot \cos \angle B F_{2} F_{1}=9 n^{2}\end{array}\right.$ ，又 $\angle A F_{2} F_{1}, \angle B F_{2} F_{1}$ 互补， $\therefore \cos \angle A F_{2} F_{1}+\cos \angle B F_{2} F_{1}=0$ ，两式消去 $\cos \angle A F_{2} F_{1}, \cos \angle B F_{2} F_{1}$ ，得 $3 n^{2}+6=11 n^{2}$ ，解得 $n=\frac{\sqrt{3}}{2} . \therefore 2 a=4 n=2 \sqrt{3}, \therefore a=\sqrt{3}, \therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3-1=2, \therefore$ 所求椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ，故选B．

【详解】如图，由已知可设 $\left|F_{2} B\right|=n$ ，则 $\left|A F_{2}\right|=2 n,\left|B F_{1}\right|=|A B|=3 n$ ，由椭圆的定义有 $2 a=\left|B F_{1}\right|+\left|B F_{2}\right|=4 n, \therefore\left|A F_{1}\right|=2 a-\left|A F_{2}\right|=2 n$ 。在 $\triangle A F_{1} B$ 中，由余弦定理推论得 $\cos \angle F_{1} A B=\frac{4 n^{2}+9 n^{2}-9 n^{2}}{2 \cdot 2 n \cdot 3 n}=\frac{1}{3}$ ．在 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 中，由余弦定理得 $4 n^{2}+4 n^{2}-2 \cdot 2 n \cdot 2 n \cdot \frac{1}{3}=4$ ，解得 $n=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
$\therefore 2 a=4 n=2 \sqrt{3}, \therefore a=\sqrt{3}, \therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3-1=2, \therefore$ 所求椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ，故选B．

【点晴】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养。