在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1 D…——2021 高考数学第 5 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】平移直线 $A D_{1}$ 至 $B C_{1}$ ，将直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角转化为 $P B$ 与 $B C_{1}$ 所成的角，解三角形即可．

【详解】

如图，连接 $B C_{1}, P C_{1}, P B$ ，因为 $A D_{1} / / B C_{1}$ ，

所以 $\angle P B C_{1}$ 或其补角为直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角，

因为 $B B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，所以 $B B_{1} \perp P C_{1}$ ，又 $P C_{1} \perp B_{1} D_{1}, B B_{1} \cap B_{1} D_{1}=B_{1}$ ，

所以 $P C_{1} \perp$ 平面 $P B B_{1}$ ，所以 $P C_{1} \perp P B$ ，
设正方体棱长为 2 ，则 $B C_{1}=2 \sqrt{2}, ~ P C_{1}=\frac{1}{2} D_{1} B_{1}=\sqrt{2}$ ，
$\sin \angle P B C_{1}=\frac{P C_{1}}{B C_{1}}=\frac{1}{2}$ ，所以 $\angle P B C_{1}=\frac{\pi}{6}$ ．
故选：D