在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 arr…——2022 高考数学第 22 题答案解析

【答案】① $\sqrt{3} x + y + 2m = 0$

> ② $\left[-\frac{19}{12},\frac{5}{2}\right]$

【解析】

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；

（2）方法一：联立 $l$ 与 $C$ 的方程，采用换元法处理，根据新设 $a$ 的取值范围求解 $m$ 的范围即可.【小问1详解】

因为 l: $\rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ，所以 $\frac{1}{2}\rho\cdot\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\cdot\cos\theta+m=0$

又因为 $\rho \cdot \sin \theta = y, \rho \cdot \cos \theta = x$ ，所以化简为 $\frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} x + m = 0$ ，

整理得 l 的直角坐标方程： $\sqrt{3}x + y + 2m = 0$

【小问 2 详解】

**方法一**：【最优解】参数方程

联立 $l$ 与 $C$ 的方程，即将 $x = \sqrt{3}\cos 2t$ ， $y = 2\sin t$ 代入 $\sqrt{3} x + y + 2m = 0$ 中，

可得 $3\cos2t+2\sin t+2m=0 \Rightarrow 3(1-2\sin^{2}t)+2\sin t+2m=0$ ,

化简为 $-6\sin^{2}t+2\sin t+3+2m=0$ ，

要使 l 与 C 有公共点，则 $2m = 6 \sin^{2} t - 2 \sin t - 3$ 有解，

令 $\sin t = a$ ，则 $a \in [-1,1]$ ，令 $f(a) = 6a^{2} - 2a - 3$ ， $(-1 \leqslant a \leqslant 1)$

对称轴为 $a=\frac{1}{6}$ ，开口向上，

$$ \therefore f (a) _ {\max} = f (- 1) = 6 + 2 - 3 = 5 $$

$$ f (a) _ {\min} = f (\frac {1}{6}) = \frac {1}{6} - \frac {2}{6} - 3 = - \frac {1 9}{6}, $$

$\therefore -\frac{19}{6} \leq 2m \leq 5$ ，即 $m$ 的取值范围为 $\left[-\frac{19}{12}, \frac{5}{2}\right]$ .

**方法二**：直角坐标方程

由曲线 C 的参数方程为 $\left\{\begin{aligned} x &= \sqrt{3} \cos 2t \\ y &= 2 \sin t \end{aligned}\right.$ ，t 为参数，消去参数 t，可得 $y^{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x + 2$ ，

联立 $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{3} x + y + 2m = 0 \\ y^2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3} x + 2 \end{array} \right.$ ，得 $3y^2 - 2y - 4m - 6 = 0 (-2 \leq y \leq 2)$ ，即 $4m = 3y^2 - 2y - 6 = 3\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{19}{3}$ ，

即有 $-\frac{19}{3} \leq 4m \leq 10$ ，即 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}$ ， $\therefore m$ 的取值范围是 $\left[-\frac{19}{12}, \frac{5}{2}\right]$ .

**方法一**：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；

**方法二**：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视 $y$ 的范围限制而出错.