换元法高考真题解析

16．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos B=\frac{9}{16}, b=5, \frac{a}{c}=\frac{2}{3}$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）求 $\sin A$ ；
（3）求 $\cos (B-2 A)$ ．

20．设函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 图象上点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ，证明 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\frac{1}{2}}$ ．

21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．

11．已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ ，则 $x-y$ 的最大值是（）

11．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $(0, \pi)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）

20．（16分）已知函数 $f(x)=\sqrt{|x+a|-a}-x$ 。
（1）若 $a=1$ ，求函数的定义域；
（2）若 $a \neq 0$ ，若 $f(a x)=a$ 有2个不同实数根，求 $a$ 的取值范围；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围。
【思路分析】（1）把 $a=1$ 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的不等式得答案；
②$f(a x)=a \Leftrightarrow \sqrt{|a x+a|-a}=a x+a$ ，设 $a x+a=t \ldots 0$ ，得 $a=t-t^{2}, ~ t \ldots 0$ ，求得等式右边关于 $t$ 的函数的值域可得 $a$ 的取值范围；
（3）分 $x \ldots-a$ 与 $x<-a$ 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性的 $a$ 的范围。

4．下列区间中，函数 $f(x)=7 \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 单调递增的区间是（ ）

22．已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
②设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a-a \ln b=a-b$ ，证明： $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}$ ．

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ．记数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为＂$\lambda-k$＂数列．
（1）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\lambda-1$＂数列，求 $\lambda$ 的值；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\frac{\sqrt{3}}{3}-2$＂数列，且 $a_{n}>0$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）对于给定的 $\lambda$ ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$\lambda-$
3＂数列，且 $a_{n} \geq 0$ ？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由，

## 数学 II（附加题）

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

## A．［选修4－2：矩阵与变换］

8．（5分）函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8\right)$ 的单调递增区间是（ ）

12．（5分）若函数 $f(x)=x-\frac{1}{3} \sin 2 x+a \sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是（ ）

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots$ ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $w_{i}=\sqrt{x_{i}}, \quad \bar{w}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} w_{i}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1} \quad \mathrm{v}_{1}$ ），（ $\mathrm{u}_{2} \quad \mathrm{v}_{2}$ ）．．．．（ $\mathrm{u}_{\mathrm{n}} v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $$

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 $y$（单位：$t$ ）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots, 8)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $\mathrm{w}_{\mathrm{i}}=\sqrt{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}, \quad \overline{\mathrm{w}}=\frac{1}{8} \sum_{\mathrm{i}=1}^{8} \mathrm{w}_{\mathrm{i}}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1}$
$\left.v_{1}\right), \quad\left(u_{2}\right.$
$\left.v_{2}\right) \ldots . .\left(u_{n}\right.$
$v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $$

22．（10分）如图， AB 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径， AC 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线， BC 交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ．
（I）若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线；
（II）若 $O A=\sqrt{3} C E$ ，求 $\angle A C B$ 的大小。

2．对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$，下列说法一定正确的是
A．$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列
B．$a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列
$C . a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列
$D . a_{3}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列

12．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{1}+1, a_{3}+3, a_{5}+5$ 构成公比为 $q$ 的等比数列，则 $q=$
$\_\_\_\_$．

21．（本小题满分 14 分）设函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3}}$ ，其中 $k<-2$ ，
（1）求函数 $f(x)$ 的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数 $f(x)$ 在 D 上的单调性；
（3）若 $k<-6$ ，求 D 上满足条件 $f(x)>f(1)$ 的 $x$ 的集合（用区间表示）。

## 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

## 数学（理科）答案

20．（12分）已知点A $(0,-2)$ ，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, \mathrm{~F}$ 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \mathrm{O}$ 为坐标原点．
（I）求 E 的方程；
（II）设过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P$ ，$Q$ 两点，当 $\triangle O P Q$ 的面积最大时，求$l$的方程

（10）．已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$，若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数为

20．（本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{\sqrt{a_{n}{ }^{2}+b_{n}{ }^{2}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
①设 $b_{n+1}=1+\frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，求证：数列 $\left\{\left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)^{2}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．

## 绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

## 数学 II（附加题）

## 注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

## 21．［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

## 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

##

（15）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ 为 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和。记 $T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}, n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 的最大项，则 $n_{0}=$

侧视图

$\_\_\_\_$。

17．（本小题满分14分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 $a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=a_{4}^{2}+a_{5}^{2}, S_{7}=7$（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；②试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m+1}}{a_{m+2}}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的项．

20．（本小题满分 14 分）
已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像上一点。等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $f(n)-c$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n}>0\right)$ 的首项为 c ，且前 n 项和 $s_{n}$ 满足 $s_{n}-s_{n-1}=\sqrt{s_{n}}+\sqrt{s_{n-1}}(n \geqslant 2)$
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{\frac{1}{b_{n} b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问满足 $T_{n}>\frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？