换元法高考真题解析

12．已知 $(1-2 x)^{4}=a_{0}-2 a_{1} x+4 a_{2} x^{2}-8 a_{3} x^{3}+16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0}=$ $\_\_\_\_$$; a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\_\_\_\_$．

15．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

13．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

16．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos B=\frac{9}{16}, b=5, \frac{a}{c}=\frac{2}{3}$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）求 $\sin A$ ；
（3）求 $\cos (B-2 A)$ ．

15．已知函数 $f(x)=\cos \omega x-1(\omega>0)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 3 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

16．已知 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，$\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D=$ $\_\_\_\_$ ．

22. 在直角坐标系 $xOy$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{array} \right.$ , ( $t$ 为参数), 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) + m = 0$ .

(1) 写出 l 的直角坐标方程;

(2) 若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围.

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ．
（1）写出 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

9．已知 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
①$f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ；
②$f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递增；
（3）当 $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 时，$f(x)$ 的取值范围为 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right]$ ；
④$f(x)$ 的图象可由 $\mathrm{g}(x)=\frac{1}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为

20．已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=e^{x}-a \sin x, g(x)=b \sqrt{x}$
（1）求函数 $y=f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）若 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$ ．

7．函数 $f(x)=\cos x-\cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值

18.

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列：（2）数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列；（3）$a_{2}=3 a_{1}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

7．把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像，则 $f(x)=$

20．设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．

（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．

8．下列函数中最小值为4的是（ ）

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

22．已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．

9．已知 $2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7$ ，则 $\tan \theta=$（ ）

4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星＂鹊桥＂，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行．$L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 $M_{1}$ ，月球质量为 $M_{2}$ ，地月距离为 $R, L_{2}$ 点到月球的距离为 $r$ ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，$r$ 满足方程：
$\frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$.

设 $\alpha=\frac{r}{R}$ ，由于 $\alpha$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 \alpha^{3}+3 \alpha^{4}+\alpha^{5}}{(1+\alpha)^{2}} \approx 3 \alpha^{3}$ ，则 $r$ 的近似值为

17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $y=\cos x$ ．
（1）若 $f(\alpha)=\frac{1}{3}$ ，且 $\alpha \in[0, \pi]$ ，求 $f\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求函数 $y=f(2 x)-2 f(x)$ 的最小值．

11．（5分）设 $x , y , z$ 为正数，且 $2^{x}=3^{y}=5^{z}$ ，则（ ）

14．（5分）函数 $f(x)=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \cos x-\frac{3}{4}\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ 1 ．

12．（6 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\log _{\mathrm{b}} \mathrm{a}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}^{\mathrm{b}}=\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ，
$\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．（4分）（2016•浙江）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}$ ．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 $\mathrm{PD}=\mathrm{DA}, ~ \mathrm{~PB}=\mathrm{BA}$ ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 $\_\_\_\_$。

15．（6 分）已知向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是
$\_\_\_\_$ ，最大值是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{5}$ ．

11．（5分）函数 $f(x)=\cos 2 x+6 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ 的最大值为（ ）

12．（6 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\log _{\mathrm{b}} \mathrm{a}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}^{\mathrm{b}}=\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

8. 方程 $\log _ { 2 } ( 9 ^ { x - 1 } - 5 ) = \log _ { 2 } ( 3 ^ { x - 1 } - 2 ) + 2$ 的解为

7、 方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为 $\_\_\_\_$．

8．方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为

14．如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， $\mathrm{E}, \mathrm{~F}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 $y$（单位：$t$ ）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots, 8)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $\mathrm{w}_{\mathrm{i}}=\sqrt{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}, \quad \overline{\mathrm{w}}=\frac{1}{8} \sum_{\mathrm{i}=1}^{8} \mathrm{w}_{\mathrm{i}}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1}$
$\left.v_{1}\right), \quad\left(u_{2}\right.$
$\left.v_{2}\right) \ldots . .\left(u_{n}\right.$
$v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $$

16．（5分）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 是减函数，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，2］ ．

14．（5分）函数 $y=\cos 2 x+2 \sin x$ 的最大值是－$\frac{3}{2}$
$\_\_\_\_$ ．

2．对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$，下列说法一定正确的是
A．$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列
B．$a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列
$C . a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列
$D . a_{3}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列

11．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

12．函数 $f(x)=\log _{2} \sqrt{x} \cdot \log _{\sqrt{2}}(2 x)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

16．对于 $c>0$ ，当非零实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $4 a^{2}-2 a b+4 b^{2}-c=0$ ，且使 $|2 a+b|$ 最大时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

9．设 $m \in R$，过定点 $A$ 的动直线 $x+m y=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x-y-m+3=0$ 交于点 $P(x, y)$，则 $|P A|+|P B|$ 的取值范围是

12．（5分）已知函数 $f(x)=\cos x \sin 2 x$ ，下列结论中不正确的是（）