（2）已知复数 z= 3 +i (1- 3 i)^ 2 ,…——2010 高考数学第 2 题答案解析

【答案】A

【解答】
$K^{2}=\frac{500 \times(40 \times 270-30 \times 160)^{2}}{200 \times 300 \times 70 \times 430}=9.967$ 。
由于 $9.967>6.635$ ，所以有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
（III）由（II）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。
（20．）解：
> ①由椭圆定义知 $\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{2}\right|+|A B|=4 a$ ，又 $2|A B|=\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{2}\right|$ ，
得 $|A B|=\frac{4}{3} a$
$l$ 的方程为 $y=x+c$ ，其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ 。
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点坐标满足方程组
$\left\{\begin{array}{l}y=x+c \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$
化简的 $\left(a^{2}+b^{2}\right) x^{2}+2 a^{2} c x+a^{2}\left(c^{2}-b^{2}\right)=0$
则 $x_{1}+x_{2}=\frac{-2 a^{2} c}{a^{2}+b^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{a^{2}\left(c^{2}-b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}$
因为直线 AB 斜率为 1 ，所以 $|A B|=\sqrt{2}\left|x_{2}-x_{1}\right|=\sqrt{2\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]}$
得 $\frac{4}{3} a=\frac{4 a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ ，故 $a^{2}=2 b^{2}$
所以E的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（II）设 AB 的中点为 $N\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由（I）知

$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-a^{2} c}{a^{2}+b^{2}}=-\frac{2}{3} c, y_{0}=x_{0}+c=\frac{c}{3} 。$
由 $|P A|=|P B|$ ，得 $k_{P N}=-1$ ，
即 $\frac{y_{0}+1}{x_{0}}=-1$
得 $c=3$ ，从而 $a=3 \sqrt{2}, b=3$

故椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 。

【解答】
（5分）（2010•海南）已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}=$ ）
A．$\frac{1}{4}$
B．$\frac{1}{2}$
C． 1
D． 2

【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】因为 $\mathrm{z}^{*} \cdot \overline{\mathrm{z}}=|\mathrm{z}|^{2}$ ，所以先求 $|\mathrm{z}|$ 再求 $\mathrm{z}^{*} \cdot \overline{\mathrm{z}}$ 的值。
【解答】解：由 $|z|=\left|\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}\right|=\frac{|\sqrt{3}+i|}{|1-\sqrt{3} i|^{2}}=\frac{2}{2^{2}}=\frac{1}{2}$ 可得 $z \cdot \bar{z}=|z|^{2}=\frac{1}{4}$ ．
另解：
$z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}=\frac{\sqrt{3}+i}{-2-2 \sqrt{3} i}=-\frac{1 \sqrt{3}+i}{21+\sqrt{3} i}=\frac{1}{8}(\sqrt{3}+i) \quad(1-\sqrt{3} i)=\frac{1}{4}(\sqrt{3}-i)$
$z \cdot \bar{z}=\frac{1}{4}(\sqrt{3}-i) \cdot \frac{1}{4}(\sqrt{3}+i)=\frac{1}{4}$
故选A．
【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算。