2025_天津卷 (2025)
8．$f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi<\varphi<\pi)$ ，在 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 为它的一条对称轴，$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 是它的一个对称中心，当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)$ 的最小值为
A
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数的对称性得出 $\omega=4 n+2$ ，根据单调性得出 $0<\omega \leq 2$ ，从而确定 $\omega$ ，结合对称轴与对称中心再求出 $\varphi$ ，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解。
【详解】设 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$ ，根据题意有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{12} \omega+\varphi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi \\ \frac{\pi}{3} \omega+\varphi=m \pi\end{array},(m, k \in \mathrm{Z})\right.$ ，
由正弦函数的对称性可知 $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}=\frac{(2 n+1) T}{4}(n \in \mathrm{Z})$ ，
即 $\frac{\pi}{4}=\frac{2 n \pi+\pi}{2 \omega}, \therefore \omega=4 n+2$ ，
又 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，则 $\frac{T}{2} \geq \frac{\pi}{12}-\left(-\frac{5 \pi}{12}\right), \therefore \frac{\pi}{\omega} \geq \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0<\omega \leq 2$ ，
$\therefore \omega=2$ ，则 $\left\{\begin{array}{c}\varphi=\frac{\pi}{3}+2 k \pi \\ \varphi=m \pi-\frac{2 \pi}{3}\end{array}\right.$ ，
$\because \varphi \in(-\pi, \pi), \quad \therefore k=0, m=1$ 时，$\varphi=\frac{\pi}{3}, \quad \therefore f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，
当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时， $2 x+\frac{\pi}{3} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$ ，
由正弦函数的单调性可知 $f(x)_{\min }=\sin \frac{4 \pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
故选：A