整体代换高考真题解析

5．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ，则 $S_{5}=~(\quad)$

6．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

15．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{2} a_{4} a_{5}=a_{3} a_{6}, a_{9} a_{10}=-8$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan \theta=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin \theta-\cos \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

4．己知函数 $f(x)=\frac{1}{1+2^{x}}$ ，则对任意实数 $x$ ，有（）

8．若 $(2 x-1)^{4}=a_{4} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$ ，则 $a_{0}+a_{2}+a_{4}=()$

16．已知 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，$\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D=$ $\_\_\_\_$。

20．已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ．
（1）求 $C$ 的方程，
（2）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值

5．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $\left|M F_{1}\right| \cdot\left|M F_{2}\right|$ 的最大值为（ ）

25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概

率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。

## 答案解析

10．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1, a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$ ，则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=()$

6．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$ ，则 $k=$（ ）

18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60$ ，

$$ \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=800 . $$

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{2}=1.414$ ．

18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60$ ，

$$ \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=800 . $$

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{2}=1.414$ ．

11．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\sqrt{5} . P$ 是 $C$上一点，且 $F_{1} P \perp F_{2} P$ ．若 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 4 ，则 $a=$

22．（本小题满分 10 分）设 $(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}, n \ldots 4, n \in \mathbf{N}^{*}$ 。已知 $a_{3}^{2}=2 a_{2} a_{4}$ ．
（1）求 $n$ 的值；
②设 $(1+\sqrt{3})^{n}=a+b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，求 $a^{2}-3 b^{2}$ 的值．

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ ．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，$p_{i}(i=0,1, \cdots, 8)$ 表示＂甲药的累计得分为 $i$ 时

，最终认为甲药比乙药更有效＂的概率，则 $p_{0}=0, p_{8}=1, p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1} (i=1,2, \cdots, 7)$ ，其中 $a=P(X=-1), b=P(X=0), c=P(X=1)$ 。假设 $\alpha=0.5$ ， $\beta=0.8$.
（i）证明：$\left\{p_{i+1}-p_{i}\right\}(i=0,1,2, \cdots, 7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性。

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=1, S_{3}=\frac{3}{4}$ ，则 $S_{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

5．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{2}+a_{8}=10$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$ $\_\_\_\_$

（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已

知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

19．（16 分）对于给定的正整数 $k$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n ~(n>k) ~$ 总成立，则称数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（k）数列＂．
（1）证明：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$p$③数列＂；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既是＂$P(2)$ 数列＂，又是＂$P(3)$ 数列＂，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

6．若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项的和为 25 ，则 $a_{1}+a_{5}=$ $\_\_\_\_$ ；

（19）（本小题满分 12 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6, a_{1} a_{2}=a_{3}$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式；
（II）$\left\{b_{n}\right\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 知 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}$ ，求数列
$\left\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足 $\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}{2}\right| \leq 1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．

（I）求证：$\left|a_{n}\right| \geq 2^{n-1}\left(\left|a_{1}\right|-2\right)\left(n \in N^{*}\right)$
（II）若 $\left|a_{n}\right| \leq\left(\frac{3}{2}\right)^{n}, ~ n \in N^{*}$ ，证明：$\left|a_{n}\right| \leq 2, ~ n \in N^{*}$ 。

18．（14 分）已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x(x \in R)$ ．
（I）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值。
（II）求 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间。

16．（13 分）已知函数 $f(x)=2 \sin \omega x \cos \omega x+\cos 2 \omega x(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

8．设 $O$ 为坐标原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^{2}=2 p x(\mathrm{p}>0)$ 上任意一点，$M$ 是线段 $P F$ 上的点，且 $|P M|=2|M F|$ ，则直线 $O M$ 的斜率的最大值为

20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足 $\left|a_{n}-\frac{a_{n+1}}{2}\right| \leq 1, n \in N^{*}$ 。
（I）求证：$\left|a_{n}\right| \geq 2^{n-1}\left(\left|a_{1}\right|-2\right)\left(n \in N^{*}\right)$
（II）若 $\left|a_{n}\right| \leq\left(\frac{3}{2}\right) n, n \in N^{*}$ ，证明：$\left|a_{n}\right| \leq 2, n \in N^{*}$ 。

14．已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0), x \in \mathbf{R}$ ，若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\omega, \omega)$ 内单调递增，且函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

4．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{1}+a_{3}+a_{5}=21$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$（）

5．（5分）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=3$ ，则 $S_{5}=()$

6．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A , B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

10．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=2, a_{5}=5$ ，则数列 $\left\{\operatorname{Ig} a_{n}\right\}$ 的前 8 项和等于

17．（10分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}+2$ 。
（I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（II）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

8．设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3 b,\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=\frac{9}{4} a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

9．设样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ 的均值和方差分别为 1 和 4 ，若 $y_{i}=x_{i}+a$（ $a$ 为非零常数，$i=1,2, \cdots, 10$ ），则 $y_{1}, y_{2}, \cdots y_{10}$ 的均值和方差分别为

13．若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_{10} a_{11}+a_{9} a_{12}=2 e^{5}$ ，则 $\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{20}=$ $\_\_\_\_$。

16．已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．