三角函数的图象与性质　·　历年高考数学真题与解析

7．已知函数 $f(x)=\sin 3\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ 。则函数在 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}\right]$ 的最小值是（ ）

10．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，集合 $S=\left\{\cos a_{n} \mid n \in \mathrm{~N}^{*}\right\}$ ，若 $S=\{a, b\}$ ，则 $a b=$（ ）

10．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

5．已知函数 $f(x)$ 的一条对称轴为直线 $x=2$ ，一个周期为 4 ，则 $f(x)$ 的解析式可能为（ ）

6．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

11．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $(0, \pi)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）

4．下列区间中，函数 $f(x)=7 \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 单调递增的区间是（ ）

9.

设 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos (2 \pi x-2 \pi a) . & x

12．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega>0)$ ，已知 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：
①$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 3 个极大值点
②$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 2 个极小值点
③$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 单调递增
④$\omega$ 的取值范围是 $\left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)$
其中所有正确结论的编号是

21．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，公差 $d \in(0, \pi]$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n}=\sin \left(a_{n}\right), n \in \mathbf{N}^{*}$ ，记 $S=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ ．
①设 $a_{1}=0, d=\frac{2}{3} \pi$ ，求集合 $S$ ；
②设 $a_{1}=\frac{\pi}{2}$ ，试求 $d$ 的值，使得集合 $S$ 恰有两个元素；
（3）若集合 $S$ 恰有三个元素，且 $b_{n+T}=b_{n}$ ，其中 $T$ 为不超过 7 的正整数，求 $T$ 所有可能值。

8．若 $x_{1}=\frac{\pi}{4}, x_{2}=\frac{3 \pi}{4}$ 是函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 两个相邻的极值点，则 $\omega=$

18．（14 分）已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x(x \in R)$ ．
（I）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值。
（II）求 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间。

15．（13分）（2016•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \tan \mathrm{x} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right) \cos \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}$ ．
（1）求 $f$（ x ）的定义域与最小正周期；
（2）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调性。

16．（13 分）已知函数 $f(x)=2 \sin \omega x \cos \omega x+\cos 2 \omega x(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。

14．已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0), x \in \mathbf{R}$ ，若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\omega, \omega)$ 内单调递增，且函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

18．（本小题满分 13 分，（1）小问 7 分，（2）小问 6 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin x-\sqrt{3} \cos ^{2} x$
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；

（2）讨论 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的单调性．

8．（5分）函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi)$ 的部分图象如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为

12．（5分）设函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \frac{\pi x}{m}$ ，若存在 $f(x)$ 的极值点 $x_{0}$ 满足 $x_{0}{ }^{2}+\left[f\left(x_{0}\right.\right.$ ）$]^{2}

16．已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．

17．（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．

18．（（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=2 \cos x(\sin x+\cos x)$ ．
（1）求 $f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ 的值；
（2）求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间．

9．将函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数
$A$ ．在区间 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$ 上单调递减
B．在区间 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$ 上单调．递增
$C$ ．在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减
$D$ ．在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增

（16）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=4 \cos \omega x \cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$．
（I）求 $\omega$ 的值；
（II）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的单调性．

20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\sin (w x+\varphi)(w>0,0<\varphi<\pi)$ 的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{\pi}{2}$ 单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象。
（1）求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式

（2）是否存在 $x_{0} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right), g\left(x_{0}\right), f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_{0}$ 的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x)=f(x)+a g(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有2013个零点

21．（6分 +8 分）已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ；
（1）若 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，求 $\omega$ 的取值范围；

（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图像，区间 $[a, b](a, b \in R$ 且 $a

18．已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(x \in R, \omega>0,0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图5所示，
（1）求函数 $f(x)$ 的解析式；
（2）求函数 $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的单调递增区间．

B 5

9．（5分）已知 $\omega>0$ ，函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递减 ，则实数 $\omega$ 的取值范围是（ ）

6．（3分）（2011 • 山东）若函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减，则 $\omega=$
A 8
B 2
C $\frac{3}{2}$
D $\frac{2}{3}$

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。
若实数 $x , y , m$ 满足 $|x-m|<|y-m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ ．
（1）若 $x^{2}-1$ 比3接近 0 ，求 $x$ 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 $a , b$ ，证明：$a^{2} b+a b^{2}$ 比 $a^{3}+b^{3}$ 接近 $2 a b \sqrt{a b}$ ；
（3）已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z, x \in R\}$ 。任取 $x \in D, f(x)$ 等于
$1+\sin x$ 和 $1-\sin x$ 中接近 0 的那个值．写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

17．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{3} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)-\cos (\omega \mathrm{x}+\phi)(0< \phi<\pi, \omega>0$ ）为偶函数，且函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 图象的两相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ．
（I）求 $f$（ $\frac{\pi}{8}$ ）的值；
（II）将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象，求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的单调递减区间。