（22）（本小题满分 14 分） 设数列 a_ n 的前…——2009 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
本小题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想等数学思想方法，以及推理论证、
分析与解决问题的能力。
解：（I）当 $n=1$ 时，$a_{1}=5 a_{1}+1, \therefore a_{1}=-\frac{1}{4}$
又 $\because a_{n}=5 S_{n}+1, a_{n+1}=5 S_{n+1}+1$
$\therefore a_{n+1}-a_{n}=5 a_{n+1}$ ，即 $a_{n+1}=-\frac{1}{4} a_{n}$
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 成等比数列，其首项 $a_{n+1}=-\frac{1}{4} a_{n}$ ．
$\therefore a_{n}=\frac{4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}}$
（II）不存在正整数 $k$ ，使得 $R_{k} \geq 4 k$ 成立

下证：对任意的正整数 $n$ ，都有 $R_{k}<4 n$ 成立

由（I）知 $b_{n}=4+\frac{5}{(-4)^{n}-1}$

$$ \begin{aligned} \because b_{2 k-1}+b_{2 k} & =8+\frac{5}{\left(-\frac{1}{4}\right)^{2 k-1}-1}+\frac{5}{(-4)^{2 k}-1} \\ & =8+\frac{5}{16^{k}-1}-\frac{20}{16^{k}+4} \\ & =8-\frac{15 \times 16^{k}-40}{\left(16^{k}-1\right)\left(16^{k}+4\right)}<8 \end{aligned} $$