2009 高考数学第 22 题答案解析

（22）（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，对任意的正整数 n ，都有 $a_{n}=5 s_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{+}\right) .$.
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{R}_{n}$ ，是否存在正整数 k ，使得 $R_{k} \geq 4 k$ 成立？若存在，找出一个正整数 k ；若不存在，请说明理由；
（III）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{+}\right)$，设数列 $\left|c_{n}\right|$ 的前 n 项和味 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 n ，都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ．