（本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列： 其中表 n…——2010 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（13分）（2010•湖南）给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
$\begin{array}{lllll}1 & \begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & 5\end{array} \\ & { }_{4} & 8 & \end{array}$
12
其中表 $\mathrm{n}(\mathrm{n}=1,2,3$
…）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 $1,3,5, \ldots 2 \mathrm{n}-1$ ，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n ~(n \geq 3) ~$（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $1,4,12 \ldots$ ，记此数列为 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 求和
$: \frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}}+\frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}}+\cdots \frac{b_{n+2}}{b_{n} b_{n+1}}\left(n \in N^{+}\right)$
【考点】数列的求和；等比数列的性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】①根据表1，表2，表3的规律可写出表4，然后求出各行的平均数，可确定等比数列的首项和公比，进而推广到 n 。
②先求出表 $n$ 的首项的平均数，进而可确定它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n ，公比为 2 的等比数列，进而得到表中最后一行的数 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} \bullet 2^{\mathrm{n}-1}$ ，再化简通项 $\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{k}+2}}{\mathrm{~b}_{\mathrm{k}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}+1}}$ ，最后根据裂项法求和。

【解答】解：（I）表4为
1357
4812
1220

它的第 $1,2,3,4$ 行中的数的平均数分别是 $4,8,16,32$ ，它们构成首项为 4 ，公比为 2 的等比数列
将这一结论推广到表 $\mathrm{n} ~(\mathrm{n} \geq 3) ~$ ，即
表 $\mathrm{n} ~(\mathrm{n} \geq 3) ~$ 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n ，公比为 2 的等比数列．
（II）表 n 的第 1 行是 $1,3,5, \ldots, 2 \mathrm{n}-1$ ，其平均数是 $\frac{1+3+5+\cdots+(2 \mathrm{n}-1)}{\mathrm{n}}=\mathrm{n}$
由（I）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n ，公比为 2 的等比数列 （从而它的第 k 行中数的平均数是
$\mathrm{n} \bullet 2^{\mathrm{k}-1}$ ），于是，表中最后一行的唯一一个数为 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} \bullet 2^{\mathrm{n}-1}$ 。
因此
$\frac{b_{k+2}}{b_{k} b_{k+1}}=\frac{(k+2) 2^{k+1}}{k \cdot 2^{k-1} \cdot(k+1) \cdot 2^{k}}=\frac{k+2}{k(k+1) \cdot 2^{k-2}}=\frac{2(k+1)-k}{k(k+1) \cdot 2^{k-2}}=$
$\frac{1}{k \cdot 2^{k-3}}-\frac{1}{(k+1) \cdot 2^{k-2}}(k=1,2, \ldots, n)$
故
$\frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}}+\frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}}+\ldots+\frac{b_{n+2}}{b_{n} b_{n+1}}=\left(\frac{1}{1 \times 2^{-2}}-\frac{1}{2 \times 2^{-1}}\right)+\left(\frac{1}{2 \times 2^{-1}}-\frac{1}{3 \times 2^{0}}\right)+\ldots+[$
$\left.\frac{1}{n \times 2^{n-3}}-\frac{1}{(n+1) \times 2^{n-2}}\right]$
$=\frac{1}{1 \times 2^{-2}}-\frac{1}{(n+1) \times 2^{n-2}}=4-\frac{1}{(n+1) \times 2^{n-2}}$.
【点评】本题主要考查数列求和和等比数列的性质。数列求和是高考的必考点，一般有公式法、裂项法、错位相减法等，都要熟练掌握。