【解答】
设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$
【答案】（I）$a_{n}=3 n, b_{n}=3^{n}$ ；
（II）$\frac{(2 n-1) 3^{n+2}+6 n^{2}+9}{2}\left(n \in N^{*}\right)$
【解析】
【分析】
（1）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 $\left\{\begin{array}{l}d=3 \\ q=3\end{array}\right.$ ，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的 $c_{n}$ 所满足的条件，将 $a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n}$ 表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果．
【详解】①解：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，
依题意，得 $\left\{\begin{array}{l}3 q=3+2 d \\ 3 q^{2}=15+4 d\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}d=3 \\ q=3\end{array}\right.$ ，
故 $a_{n}=3+3(n-1)=3 n, b_{n}=3 \times 3^{n-1}=3^{n}$ ，
所以，$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3 n,\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=3^{n}$ ；
（II）$a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n}$
$=\left(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2 n-1}\right)+\left(a_{2} b_{1}+a_{4} b_{2}+a_{6} b_{3}+\cdots+a_{2 n} b_{n}\right)$
$=\left[n \times 3+\frac{n(n-1)}{2} \times 6\right]+\left(6 \times 3^{1}+12 \times 3^{2}+18 \times 3^{3}+\cdots+6 n \times 3^{n}\right)$
$=3 n^{2}+6 \times\left(1 \times 3^{1}+2 \times 3^{2}+\cdots+n \times 3^{n}\right)$,
记 $T_{n}=1 \times 3^{1}+2 \times 3^{2}+\cdots+n \times 3^{n} \quad$①
则 $3 T_{n}=1 \times 3^{2}+2 \times 3^{3}+\cdots+n \times 3^{n+1}$
②－（1）得， $2 T_{n}=-3-3^{2}-3^{3}-\cdots-3^{n}+n \times 3^{n+1}=-\frac{3\left(1-3^{n}\right)}{1-3}+n \times 3^{n+1}=\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{2}$ ，
所以 $a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n}=3 n^{2}+6 T_{n}=3 n^{2}+3 \times \frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{2}$
$=\frac{(2 n-1) 3^{n+2}+6 n^{2}+9}{2}\left(n \in N^{*}\right)$.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 $n$ 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目。