已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 13
【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，即 $3 x^{2}+4 y^{2}-12 c^{2}=0$ ，根据离心率得到直线 $A F_{2}$ 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 $D E$ 的斜率，写出直线 $D E$的方程：$x=\sqrt{3} y-c$ ，代入椭圆方程 $3 x^{2}+4 y^{2}-12 c^{2}=0$ ，整理化简得到：
$13 y^{2}-6 \sqrt{3} c y-9 c^{2}=0$ ，利用弦长公式求得 $c=\frac{13}{8}$ ，得 $a=2 c=\frac{13}{4}$ ，根据对称性将 $\triangle A D E$ 的周长转化为 $\triangle F_{2} D E$ 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 $4 a=13$ ．

【详解】 ∵ 椭圆的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}, \therefore a=2 c, \therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3 c^{2}, \therefore$ 椭圆的方程

为 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，即 $3 x^{2}+4 y^{2}-12 c^{2}=0$ ，不妨设左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，如图所示，$\because A F_{2}=a, O F_{2}=c, a=2 c, \therefore \angle A F_{2} O=\frac{\pi}{3}, \therefore \triangle A F_{1} F_{2}$ 为正三角形，$\because$ 过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点，$D E$ 为线段 $A F_{2}$ 的垂直平分线，∴ 直线 $D E$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，斜率倒数为 $\sqrt{3}$ ，直线 $D E$ 的方程：$x=\sqrt{3} y-c$ ，代入椭圆方程 $3 x^{2}+4 y^{2}-12 c^{2}=0$ ，整理化简得到： $13 y^{2}-6 \sqrt{3} c y-9 c^{2}=0$ ，

判别式 $=(6 \sqrt{3} c)^{2}+4 \times 13 \times 9 c^{2}=6^{2} \times 16 \times c^{2}$ ，
$\therefore|C D|=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}\left|y_{1}-y_{2}\right|=2 \times \frac{\sqrt{ }}{13}=2 \times 6 \times 4 \times \frac{c}{13}=6$ ，
$\therefore c=\frac{13}{8}$ ，得 $a=2 c=\frac{13}{4}$ ，
$\because D E$ 为线段 $A F_{2}$ 的垂直平分线，根据对称性，$A D=D F_{2}, A E=E F_{2}, \therefore \triangle A D E$ 的周长等于 $\triangle F_{2} D E$ 的周长，利用椭圆的定义得到 $\triangle F_{2} D E$ 周长为
$\left|D F_{2}\right|+\left|E F_{2}\right|+|D E|=\left|D F_{2}\right|+\left|E F_{2}\right|+\left|D F_{1}\right|+\left|E F_{1}\right|=\left|D F_{1}\right|+\left|D F_{2}\right|+\left|E F_{1}\right|+\left|E F_{2}\right|=2 a+2 a=4 a=13$

故答案为： 13 ．