圆锥曲线综合　·　历年高考数学真题与解析

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

20．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

18．设随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_{1} F\right|=3,\left|A_{2} F\right|=1$ ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} F P$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

19．已知随圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, A , C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点，$B, D$ 分别是 $E$的左、右顶点，$|A C|=4$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
②设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y=-2$ 交于点 $N$ ．求证：$M N / / C D$ ．

20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．

20．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点（－2，3）的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点，且 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．

21．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2 \sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$ ．证明：点 $P$ 在定直线上．

21．如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ ．设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点．

（1）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 $|C D|$ 的最小值．

21．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．

（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

11．已知椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F_{1}$ 的方程并与抛物线联立，求出点 $P$ 的坐标，由此可得 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，进而可以求出 $P F_{1}, ~ P F_{2}$ 的长度 ，再由椭圆的定义即可求解。

16．已知随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆
$\left(x-\frac{1}{2} c\right)^{2}+y^{2}=c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$ ，且 $P F_{2} \perp x$ 轴，则该直线的斜率是 $\_\_\_\_$

，椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$。

20．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 交 $y=-$ 3于点 $M , N$ ，直线 $A C$ 交 $y=-3$ 于点 $N$ ，若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$ ，求 $k$ 的取值范围．

21．已知抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的距离的最小值为 4 ．
（1）求 $p$ ；
（2）若点 $P$ 在 $M$ 上，$P A, P B$ 是 $C$ 的两条切线，$A, B$ 是切点，求 $\triangle P A B$ 面积的最大值．

18．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$ ．

（1）求 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长；
（2）在 $x$ 轴上任取一点 $P$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}$ 的最小值；
（3）设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $\triangle O A B$ 与 $\triangle M A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{2}=3 S_{1}$ ，求点 $M$ 的坐标．

19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

19．已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴重直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．

（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
（2）若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12 ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

21．如图，已知椭圆 $C_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，抛物线 $C_{2}: y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M(B, M$ 不同于 $A)$ ．
（I）若 $p=\frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；
（II）若存在不过原点的直线 $I$ 使 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $p$ 的最大值．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．

12．设 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点，$O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 交于 $P , Q$ 两点．若 $|P Q|=|O F|$ ，则 $C$ 的离心率为

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（ II ）设 $O$ 为原点，直线 $l: y=k x+t(t \neq \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P , Q$ ，直线 $A P$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．若 $|O M| \cdot|O N|=2$ ，求证：直线 $l$ 经过定点．

20．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，$O$ 为坐标原点
（1）若 $\mathrm{V} P O F_{2}$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$ ，使得 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的面积等于 16 ，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．

21．已知点 $A, B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|A B|=A, \odot M$ 过点 $A, B$ 且与直线 $x+2=0$ 相切．
（1）若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径．
（2）是否存在定点 $P$ ，使得当 $A$ 运动时，$|M A|-|M P|$ 为定值？并说明理由。

21．已知曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{2}, D$ 为直线 $y=-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（1）证明：直线 $A B$ 过定点：
（2）若以 $E\left(0, \frac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切，且切点为线段 $A B$ 的中点，求四边形 $A D B E$的面积．

21．如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $F$ 为焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A B$ 两点，点 $C$在抛物线上，使得 $\mathrm{V} A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧．记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ．

（1）求 $p$ 的值及抛物线的标准方程；
（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标．

16．（5分）已知点 $M(-1,1)$ 和抛物线 $C: y^{2}=4 x$ ，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点．若 $\angle A M B=90^{\circ}$ ，则 $k=$
$\_\_\_\_$ 2 ．

19．（14 分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ 经过点 $\mathrm{P}(1,2)$ ，过点 $\mathrm{Q}(0,1)$ 的直线 $l$与抛物线 C 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y轴于 $N$ ．
（I）求直线 $l$ 的斜率的取值范围；
（II）设 O 为原点， $\overrightarrow{\mathrm{QM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{QO}}, \overrightarrow{\mathrm{QN}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{QO}}$ ，求证：$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}$ 为定值。

20．（14 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．斜率为 k 的直线 $l$ 与椭圆 M 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ．
（I）求椭圆 M 的方程；
（II）若 $\mathrm{k}=1$ ，求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值；
（III）设 $\mathrm{P}(-2,0)$ ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M的另一个交点为 D．若 C，D 和点 Q（ $-\frac{7}{4}, \frac{1}{4}$ ）共线，求 k ．

20．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$|\mathrm{AB}|=8$ ．
（1）求$l$的方程；
（2）求过点 $A$ ，$B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $\mid$ 与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $\mathrm{M}(1, \mathrm{~m})(\mathrm{m}>0)$ ．
（1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ；
②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ，证明： $2|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{FB}}$

I．

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $M(1, m)(m>0)$ ．
（1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ；
②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ．证明：$|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|,|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|, \mid \overrightarrow{\mathrm{FB}} \mid$ 成等差数列，并求该数列的公差。

21．（15 分）如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 上存在不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 满足 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的中点均在 C 上。
（ I ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
（II）若 $P$ 是半椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad(x<0)$ 上的动点，求 $\triangle P A B$ 面积的取值范围．

14．（5分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $|A F|+|B F|=4|O F|$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

（15）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|A F|+|B F|=4|O F|$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$

19．（14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 $\mathrm{A}(-2,0), \mathrm{B}(2,0)$ ，焦点在 x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证：$\triangle \mathrm{BDE}$ 与 $\triangle \mathrm{BDN}$ 的面积之比为 4：5．

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\mathrm{y}^{2}=1(\mathrm{a}>1)$
（I）求直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 被椭圆截得到的弦长（用 $\mathrm{a}, \mathrm{k}$ 表示）
（II）若任意以点 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

20．（12分）设 $A$ ，$B$ 为曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 上两点，$A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 4 ．
（1）求直线 AB 的斜率；
②设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点，$C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，且 $A M \perp B M$ ，求直线 $A B$ 的方程．

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$的坐标为 $(0,1)$ ，当 m 变化时，解答下列问题：
①能否出现 $A C \perp B C$ 的情况？说明理由；
②证明过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值．

（21）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 C截直线 $\mathrm{y}=1$ 所得线段的长度为 $2 \sqrt{2}$ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）动直线 $l: y=k x+m(m \neq 0)$ 交椭圆 C 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 关于 0 的对称点，圆 N 的半径为 $|N O|$ ．

设 D 为 AB 的中点， DE ， DF 与圆 N 分别相切于点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，求 $\angle E D F$ 的最小值．

21．（14分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 2 ．
（I）求椭圆 E 的方程．
（II）如图，该直线l：$y=k_{1} x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ，$B$ 两点，$C$ 是椭圆 $E$ 上的一点，直线 $O C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且看 $k_{1} k_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}, M$ 是线段 $O C$ 延长线上一点，且 $|M C|:|A B|=2$
：3，$\odot \mathrm{M}$ 的半径为 $|\mathrm{MC}|, \mathrm{OS}, \mathrm{OT}$ 是 $\odot \mathrm{M}$ 的两条切线，切点分别为 $\mathrm{S}, \mathrm{T}$ ，求 $\angle \mathrm{SO}$ T 的最大值，并求取得最大值时直线 $l$ 的斜率．

# 2017年山东省高考数学试卷（理科）

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\mathrm{y}^{2}=1 \quad(\mathrm{a}>1)$
（I）求直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 被椭圆截得到的弦长（用 $\mathrm{a}, \mathrm{k}$ 表示）
（II）若任意以点 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(2,0), B(0,1)$ 两点．
（1）求椭圆 C 的方程及离心率；
②设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证：四边形 $A B N M$ 的面积为定值．

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A(a, 0), B (0, b), ~ O(0,0), ~ \triangle O A B$ 的面积为 1 ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．求证：$|A N| \cdot|B M|$ 为定值．

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

$l: y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$．
（I）求椭圆 E 的方程及点 $T$ 的坐标；
（II）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l$＇平行于 $O T$，与椭圆 E 交于不同的两点 $A, B$，且与直线 $l$ 交于点 $P$．证明：存在常数 $\lambda$，使得 $|P T|^{2}=\lambda|P A| \cdot|P B|$，并求 $\lambda$ 的值．

20、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。

20．（12分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1$ 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 k $(k>0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$M A \perp N A$ ．
（I）当 $t=4,|A M|=|A N|$ 时，求 $\triangle A M N$ 的面积；
（II）当 $2|A M|=|A N|$ 时，求 $k$ 的取值范围。

21．（14 分）（2016 • 山东）平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{y}$ 的焦点 F 是 C 的一个顶点．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 1 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M．
（i）求证：点 $M$ 在定直线上；
（ii）直线 $l$ 与 y 轴交于点 G，记 $\triangle \mathrm{PFG}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{1}, \triangle \mathrm{PDM}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{2}$，求 $\frac{\mathrm{S}_{1}}{\mathrm{~S}_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标．

## 2016年山东省高考数学试卷（理科）

10、设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，与圆 $C:(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $A B$ 中点，若这样的直线 $l$ 恰有4条，则 $r$ 的取值范围是

10．设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与圆 $(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 $l$ 恰有 4 条，则 $r$ 的取值范围是

18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>$ 0 ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 F 到左准线 1 的距离为 3 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 AB 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{C}$ ，若 $\mathrm{PC}=2 \mathrm{AB}$ ，求直线 AB 的方程．

18．．已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>b>0)$ 过点 $(0, \sqrt{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

（I）求椭圆 E 的方程；
（II）设直线 $x=m y-1,(m \hat{\imath} R)$ 交椭圆 E 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，
判断点 $\mathrm{G}\left(-\frac{9}{4}, 0\right)$ 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-c, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c,|F M|=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
（I）求直线 $F M$ 的斜率；
（II）求椭圆的方程；
（III）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$（ $O$ 为原点）的斜率的取值范围。

20、（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 在短轴 $C D$ 上，且 $\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}=-1$
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A , B$ 两点。是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\lambda \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $\mathrm{P}(0,1)$和点 $A(m, n)(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 PA 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（I）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示）；
（II）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ，问： y轴上是否存在点 Q ，使得 $\angle \mathrm{OQM}=\angle \mathrm{ONQ}$ ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．

20．已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的

长为 $2 \sqrt{6}$ ．
（1）求 $C_{2}$ 的方程；
（2）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向
（i）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率
（ii）设 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle M F D$ 总是针角三角形

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $l: y=k x+a(a>0)$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）当 $\mathrm{k}=\mathrm{O}$ 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．
（II） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ？（说明理由）

20．（本小题满分 13 分）已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 F 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
$(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，过点 F 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向．
（I）求 $C_{2}$ 的方程；
（II）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率．

20．如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $A(0,-1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）经过点 $(1,1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线与陏圆 $E$ 交于不同两点 $P, Q$（均异于点 $A$ ），证明：直线 $A P$ 与 $A Q$的斜率之和为 2 。

20．如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $\mathrm{P}(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 E 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|}=\frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+3 y^{2}=3$ ，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $A E$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$ ．
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）若 $A B$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $B M$ 的斜率；
（3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。

22．（本小题满分 14 分）
一种画椭圆的工具如图 1 所示。 $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$ 连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动，$M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ 。以 $O$ 为原点，$A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O P Q$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第 22 题图 1

第22题图2

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: x^{2}+2 y^{2}=4$ ，
（1）求椭圆 C 的离心率
②设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y=2$ 上，且 $O A \perp O B$ ，求直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的位置关系，并证明你的结论．

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）．
（ I ）求点 P 的坐标；

（II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如
图），双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的方程；
（2）植圆 $C_{2}$ 过点 $P$ 且与 $C_{1}$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_{2}$ 的右焦点且与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若以线段 $A B$ 为直径的圆心过点 $P$ ，求 $l$ 的方程．

20．（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．

－图 5

20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-2,0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
②设 O 为坐标原点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ．当四边形 OPTQ是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积．

21．（本小题满分 13 分）
如图，曲线 $C$ 由上半陏圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0, y \geq 0)$ 和部分抛物线 $C_{2}: y=-x^{2}+1(y \leq 0)$ 连接而成，$C_{1}, C_{2}$ 的公共点为 $A, B$，其中 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于 $P, Q$（均异于点 $A, B$ ），若 $A P \perp A Q$，求直线 $l$ 的方程．

20．（12分）已知点A $(0,-2)$ ，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, \mathrm{~F}$ 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \mathrm{O}$ 为坐标原点．
（I）求 E 的方程；
（II）设过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P$ ，$Q$ 两点，当 $\triangle O P Q$ 的面积最大时，求$l$的方程

20．（本小题满分 13 分）
如图，已知抛物线 $C: x^{2}=4 y$ ，过点 $M(0,2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $A O$ 相交于点 $D$（ $O$ 为坐标原点）．
（1）证明：动点 $D$ 在定直线上；
（2）作 $C$ 的任意一条切线 $l$（不含 $x$ 轴）与直线 $y=2$ 相交于点 $N_{1}$ ，与（1）中的定直线相交于点 $N_{2}$ ，证明：$\left|M N_{2}\right|^{2}-\left|M N_{1}\right|^{2}$ 为定值，并求此定值．

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l: y=-\frac{1}{2} x+m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程．

（21）（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点（A， B 不是椭圆 C 的顶点）．
点 D 在椭圆 C 上，且 $A D \perp A B$ ，直线 BD 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点．
（i）设直线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AM}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_{1}=\lambda k_{2}$ ，并求出 $\lambda$ 的值；
（ii）求 $\triangle O M N$ 面积的最大值．

21．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ．
（I）求C的方程；
（II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．

21．如图 7，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ；双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ，离心率为 $e_{2}$ ，已知 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{3}-1$ ．
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）过 $F_{1}$ 点作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B, M$ 为 $A B$ 的中点，当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时，求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值．

｜ 17

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

## 题（21）图

22．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ．
（I）求C的方程；
（II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、N两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．

（21）（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4，且过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} y_{0} \neq 0\right)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$。取点 $A(0,2 \sqrt{2})$，连接 $A E$，过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$。点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $Q G$，问这样作出的直线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由．

20．（12分）平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 右焦点的直线 $x+y-\sqrt{3}=0$ 交 $M$ 于 $A$ ，$B$ 两点，$P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ．
（I）求M的方程
（II）$C, D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线 $C D \perp A B$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值．

20．（本小题满分 13 分）
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点。
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a, b$。当 $a b$ 最大时，求直线 $l$ 的方程。

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率；
（II）设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{|A Q|^{2}}=\frac{1}{|A M|^{2}}+\frac{1}{|A N|^{2}}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

（21）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , A^{\prime}$ 两点，$\left|A A^{\prime}\right|=4$ 。（I）求该椭圆的标准方程；
（II）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 $P , P^{\prime}$ ，过 $P , P^{\prime}$作圆心为 $Q$ 的圆，使陏圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q \perp P^{\prime} Q$ ，求圆 $Q$

题（21）图

21．（本小题满分 13 分）
过拖物线 $E: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 F 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$，且 $k_{1}+k_{2}=2, l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$。以 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 为直径的圆 M，圆 N （ $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$。
（I）若 $k_{1}>0, k_{2}>0$，证明； $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<2 P^{2}$；
（II）若点 M 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，求抛物线 E 的方程。

21．（本小题满分 13 分）

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心原点坐标 $O$，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n(m>n)$，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$．记 $\lambda=\frac{m}{n}, \triangle B D M$ 和 $\triangle A B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$．
（I）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1}=\lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值；
（II）当 $\lambda$ 变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_{1}=\lambda S_{2}$，并说明理由．

第21影图

22．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$

，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right|$ 、 $|A B|$ 、 $\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

22、（本小题满分 13 分）
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴
的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 1 ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $P F_{1}, P F_{2}$ 。设 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P M$ 交 $C$的长轴于点 $M(m, 0)$ ，求 $m$ 的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点。设直线第4页｜共20页

## $P F_{1}, P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k \neq 0$ ，试证明 $\frac{1}{k k_{1}}+\frac{1}{k k_{2}}$ 为定值，并求出这个定值．

8．（5分）椭圆C：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} , A_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且直线 $P A_{2}$斜率的取值范围是 $[-2,-1]$ ，那么直线 $\mathrm{PA}_{1}$ 斜率的取值范围是（ ）

10．（5分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=16 \mathrm{x}$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

19．。（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 F 1 ，右焦点为 F 2 ，离心率 $e=\frac{1}{2}$ 。过 F 1 的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $\triangle A B F 2$ 的周长为 8

（I）求椭圆 E 的方程。
（II）设动直线 I： $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{m}$ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 $\mathrm{x}=4$ 相较于点 Q 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ，椭圆 $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程；
②设 O 为坐标原点，点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的一个长轴顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，

离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）当 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 k 的值．

19．（2012•天津）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>0), ~$ 点P $\left(\frac{\sqrt{5}}{5} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a\right)$ 在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 A 为椭圆的左顶点， O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足 $|\mathrm{AQ}|=|\mathrm{AO}|$ ，求直线 OQ 的斜率的值．

19．（14 分）已知曲线 $C:(5-m) x^{2}+(m-2) y^{2}=8(m \in R)$
（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围；
②设 $\mathrm{m}=4$ ，曲线 c 与 y 轴的交点为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$（点 A 位于点 B 的上方），直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+4$与曲线 c 交于不同的两点 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ ，直线 $\mathrm{y}=1$ 与直线 BM 交于点 G ．求证： A ， $G, N$ 三点共线。

20．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q (0,2)$ 的距离的最大值为 3 ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程
（2）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M(m, n)$ ，使得直线 $l: m x+n y=1$ 与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于不同的两点 $A$、 $B$ ，且 $\triangle O A B$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $\triangle O A B$ 的面积；若不存在，请说明理由。

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

21．（12分）已知抛物线C：$y=(x+1) 2$ 与圆 $M:(x-1)^{2}+\left(y \frac{1}{2}\right)^{2}=r^{2}(r>0)$有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线1．
（I）求 $r$ ；
（II）设 $m$ ，$n$ 是异于I且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$ ，$n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $\mid$的距离．

21．（本小题满分 14 分）

设 $A$ 是单位圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上任意一点，$I$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M|=m|D A|(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ 。当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$的轨迹为曲线 C 。
（1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点且斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ ，是否存在 $m$ ，使得对任意的 $K>0$ ，都有 $P Q \perp$ PH ？若存在，请说明理由．

22．（12分）已知抛物线C：$y=(x+1)^{2}$ 与圆 $M:(x-1)^{2}+\left(y \frac{1}{2}\right)^{2}=r^{2}(r>0)$有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线I．
（I）求 $r$ ；
（II）设 $m$ ，$n$ 是异于 $I$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$ ，$n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $I$的距离．

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M, N$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P, A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ，连接 $A C$ ，并延长交椭圆于点 $B$ ．设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ．
①当直线 $P A$ 平分线段 $M N$ ，求 $k$ 的值；
②当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$
；

（3）对任意 $k>0$ ，求证：$P A \perp P B$ ．

19．（14分）（2011•北京）已知随圆 $G: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的切线 $I$交椭圆G于A，B两点。
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；
（II）将 $|\mathrm{AB}|$ 表示为 m 的函数，并求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值．

20．（12分）（2011 •辽宁）如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点 0 ，长轴左、右端点 $M$ ，$N$ 在 $x$ 轴上．椭圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的短轴为 MN ，且 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的离心率都为 e ．直线 $1 \perp \mathrm{MN}$ ． 1 与 $\mathrm{C}_{1}$ 交于两点，与 $\mathrm{C}_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{D}$ ．
（I） $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ ，求 $|\mathrm{BC}|$ 与 $|\mathrm{AD}|$ 的比值；
（II）当 e 变化时，是否存在直线 1 ，使得 $\mathrm{BO} / / \mathrm{AN}$ ，并说明理由．

21、（2011•浙江）已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=y$ ，圆 $C_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的圆心为点 $M$
（I）求点 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 的准线的距离；
（II）已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点（异于原点），过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 于 A ， B 两点，若过 M ， $P$ 两点的直线 $I$ 垂足于 $A B$ ，求直线 $l$ 的方程．

考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：综合题。

分析：（1）由题意抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ，可以知道其准线方程为 $y=-\frac{1}{4}$ ，有圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 的方程可以知道圆心坐标为 $(0,4)$ ，所求易得到所求的点到线的距离；

（II）由于已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点（异于原点），所以可以设出点 P 的坐标，利用过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，也可以设出点 $A, B$ 的坐标，再设出过 $P$ 的圆 $C_{2}$ 的切线方程，利用交与抛物线 $C_{2}$ 两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的 $M P \perp A B$ ，得到方程进而求解。

21．（12分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C: x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点 ，过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 I C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ．
（ I ）证明：点 P 在 C 上；
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．

22．（15分）（2011 •浙江）如图，设 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ 上的动点．过点 P 做圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+$（ $\mathrm{y}+3)^{2}=1$ 的两条切线，交直线 $1: \mathrm{y}=-3$ 于 $\mathrm{A}, B$ 两点。
（I）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的圆心 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 准线的距离。
（II）是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 P 处的切线平分？若存在，求出点 P 的坐标 ；若不存在，请说明理由．

22．（14分）（2011 • 山东）已知直线 $l$ 与随圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 交于 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right.$ ）两不同点，且 $\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\triangle O P Q}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点．
（I）证明 $\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}$ 和 $\mathrm{y}_{1}{ }^{2}+\mathrm{y}_{2}{ }^{2}$ 均为定值；
（II）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，求 $|O M| \cdot|P Q|$ 的最大值；
（III）椭圆 C 上是否存在点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{G}$ ，使得 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ODE}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ODG}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{OEG}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ？若存在，判断 $\triangle \mathrm{DE}$ G 的形状；若不存在，请说明理由．

## 2011年山东省高考数学试卷（理科）

22．（12分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C$ ：$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ．
（ I ）证明：点 P 在 C 上；
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离为 4 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为 $(-2,-$ 1），则双曲线的焦距为（ ）

8．（3分）（2011•山东）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆C： $x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则该双曲线的方程为（）
A $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$
－$\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$
C $\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$
－$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$

9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 与双曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 有公共的焦点， $\mathrm{C}_{2}$ 的一条渐近线与以 $\mathrm{C}_{1}$ 的长轴为直径的圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点．若 $\mathrm{C}_{1}$ 恰好将线段 AB 三等分，则

（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 。
（1）求椭圆的方程；
②设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A, B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(-a, 0)$ ，点 $Q\left(0, y_{0}\right)$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=4$ ，求 $y_{0}$ 的值

（20）（本小题满分 12 分）
设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\mathrm{E}: x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<\mathrm{b}<1)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$与 E 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且 $\left|A F_{2}\right|,|A B|,\left|B F_{2}\right|$ 成等差数列。
（I）求 $|A B|$
（II）若直线 $l$ 的斜率为 1 ，求 b 的值。

21．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_{2}: x^{2}+b y=b^{2}$ 。
（1）若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $\mathrm{A}(0, \mathrm{~b}), Q\left(3 \sqrt{3}, \frac{5}{4}\right)$ ，又 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 y 轴上的两个交点，若 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的垂心为 $B\left(0, \frac{3}{4} b\right)$ ，且 $\triangle \mathrm{QMN}$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程。

21．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A , B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（ I ）证明：点 F 在直线 BD 上；
（II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $\triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．

22．（12分）已知斜率为1的直线与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．

22．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A , B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（I）证明：点 F 在直线 BD 上；
（II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $\triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．

（21）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，已知点 A 的坐标为 $(-\mathrm{a}, 0)$ ．
（i）若 $|\mathrm{AB}|=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $\mathrm{Q}\left(0, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在线段 AB 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{\mathrm{QA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}=4$ ．求 $\mathrm{y}_{0}$ 的值．

21．（本小题满分 12 分）
已知点 $P_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{8 b^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（ $b$ 为正常数）上任一点， $F_{2}$ 为双曲线的右焦点，过 $P_{1}$ 作右准线的垂线，垂足为 $A$ ，连接 $F_{2} A$并延长交 $y$ 轴于 $P_{2}$ ．
（1）求线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

②设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴交于 $B , D$ 两点，在 $E$ 上任取一点 $Q\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(y_{1} \neq 0\right)$ ，直线 $Q B, Q D$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆过两定点．

（20）（本小题满分 12 分）
已知，椭圆 C 过点 $\mathrm{A}\left(1, \frac{3}{2}\right)$ ，两个焦点为 $(-1,0),(1,0)$ 。
（I）求椭圆 C 的方程；
（II） $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

21．（12分）如图，已知抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}$ 与圆 $\mathrm{M}:(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}(\mathrm{r}>0)$ 相交于 $A , B , C , D$ 四个点．
（I）求 $r$ 的取值范围；
（II）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 $\mathrm{AC} , \mathrm{BD}$ 的交点 P 的坐标．

21．（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．

21．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， （I）求 a ， b 的值；
（II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存

在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

（21）（满分 14 分）
以知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$ 和 $F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，过点 $E\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 的直线与陏圆相交与 $A, B$ 两点，且 $F_{1} A / / F_{2} B,\left|F_{1} A\right|=2\left|F_{2} B\right|$ 。
（1）求椭圆的离心率
（2）求直线 AB 的斜率；
③设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 $F_{2} B$ 上有一点 $H(m, n)(m \neq 0)$ 在 $\Delta A F_{1} C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值

22．（本小题满分 14 分）
如图，已知圆 $G:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1$ 的内接 $\triangle A B C$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点
（1）求圆 $G$ 的半径 $r$ ；
（2）过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E, F$两点，证明：直线 $E F$ 与圆 $G$ 相切．

## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

22．（14分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．

22．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
（I）求 a ， b 的值；
（II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

22．（12分）如图，已知抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}$ 与圆 $\mathrm{M}:(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}(\mathrm{r}>0)$ 相交于A、B、C、D四个点．
（I）求 $r$ 的取值范围；
（II）当四边形 $A B C D$ 的面积最大时，求对角线 $A C , B D$ 的交点 $P$ 的坐标．

18．（本小题满分 12 分）
如图所示，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 1 的菱形，$\angle B C D=60^{\circ}$ ， E 是 CD 的中点， $\mathrm{PA} \perp$ 底面 $\mathrm{ABCD}, ~ P A=\sqrt{3}$ 。
（I）证明：平面 $\mathrm{PBE} \perp$ 平面 PAB ；
（II）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{P}$ 的大小。

19 （本小题满分 13 分）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 $F(2,0)$ ，且两条准线间的距离为 $\lambda(\lambda>4)$ 。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点 $\mathrm{A}(1,0)$ 的直线 $l$ ，使点 F 关于直线 $l$ 的对称点在椭圆上，求 $\lambda$ 的取值范围。

20．（本小题满分 13 分）
若 $A , B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 上的不同两点，弦 AB （不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，则称弦 $A B$ 是点 $P$ 的一条＂相关弦＂。已知当 $x>2$ 时，点 $P(x, 0)$存在无穷多条＂相关弦＂。给定 $x_{0}>2$ 。
（I）证明：点 $P\left(x_{0}, 0\right)$ 的所有＂相关弦＂中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 的＂相关弦＂的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用 $x_{0}$ 表示）：若不存在，请说明理由．

21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点．
（I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值．

21．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：$y=2 x^{2}$ ，直线 $y=k x+2$ 交C于A，B两点，M是线段 $A B$ 的中点，过 $M$作 x 轴的垂线交 C 于点 N 。
（I）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；
（II）是否存在实数 k 使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．

22．（14分）（2008 • 山东）如图，设抛物线方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0), \mathrm{M}$ 为直线 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{p}$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$。
（I）求证： $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当 M 点的坐标为 $(2,-2 \mathrm{p})$ 时，$|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{10}$．求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0)$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ O 为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

## 2008年山东省高考数学试卷（理科）

21．（12 分）（2008•四川）已知随圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的中心和抛物线 $\mathrm{C}_{2}$ 的顶点都在坐标原点 $\mathrm{O}, \mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ 有公共焦点 F ，点 F 在 x 轴正半轴上，且 $\mathrm{C}_{1}$ 的长轴长、短轴长及点 F 到 $\mathrm{C}_{1}$ 右准线的距离成等比数列。
（I）当 $\mathrm{C}_{2}$ 的准线与 $\mathrm{C}_{1}$ 右准线间的距离为 15 时，求 $\mathrm{C}_{1}$ 及 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程；
（II）设过点 F 且斜率为 1 的直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，交 $\mathrm{C}_{2}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点．当 $|\mathrm{MN}|=8$ 时，求 $|\mathrm{PQ}|$ 的值．

22．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{1}: \frac{|x|}{a}+\frac{|y|}{b}=1(a>b>0)$ 所围成的封闭图形的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，曲线 $C_{1}$ 的内切圆半径为 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ．记 $C_{2}$ 为以曲线 $C_{1}$ 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（I）求椭圆 $C_{2}$ 的标准方程；
（II）设 $A B$ 是过椭圆 $C_{2}$ 中心的任意弦，$l$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线．$M$ 是 $l$ 上异于椭圆中心的点。
①若 $|M O|=\lambda|O A|$（ $O$ 为坐标原点），当点 $A$ 在椭圆 $C_{2}$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹方程；
②若 $M$ 是 $l$ 与椭圆 $C_{2}$ 的交点，求 $\triangle A M B$ 的面积的最小值．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试答案

22．（12分）设栯圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点．

（I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值．