圆锥曲线综合　·　历年高考数学真题与解析

16．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), C$ 的上顶点为 $A$ ，两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点，$|D E|=6$ ，则 $\triangle A D E$ 的周长是
$\_\_\_\_$。

19．椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ 、右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，且满足 $\frac{|B F|}{|A B|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一公共点 $M$ ，与 $y$ 轴相交于 $N$（ $N$ 异于 $M$ ）．记 $O$ 为坐标原点，若 $|O M|=|O N|$ ，且 $\triangle O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．

20．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．
（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

7．已知抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{5} x, F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点 $A$ ，若 $\angle F_{1} F_{2} A=\frac{\pi}{4}$ ，则双曲线的标准方程为（ ）

20．抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ．焦点在 $x$ 轴上，直线 $l: x=1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，且 $O P \perp O Q$ ．已知点 $M(2,0)$ ，且 $\odot M$ 与 $l$ 相切．
（1）求 $C, \odot M$ 的方程；

②设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 均与 $\odot M$ 相切．判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $\odot M$ 的位置关系，并说明理由。

21．抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ．焦点在 $x$ 轴上，直线 $l: x=1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，且 $O P \perp O Q$ ．已知点 $M(2,0)$ ，且 $\odot M$ 与 $l$ 相切．
（1）求 $C, \odot M$ 的方程；
②设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 均与 $\odot M$ 相切．判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $\odot M$ 的位置关系，并说明理由。

20．（12分）设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， I 交圆 A 于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
（I）证明 $|E A|+|E B|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ，直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

18、（本小题满分 12 分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（I）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系．并说明你的结论．
（III）证明：直线 $D F \perp$ 平面 $B E G$

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）．
（ I ）求点 P 的坐标；

（II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。

（17）（本小题满分13分）
如图，
三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，
侧棱 $A_{1} A \perp$ 底面 $A B C$ ，且各棱长均相等。 $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点．

（I）证明 $E F / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；
（II）证明平面 $A_{1} C D \perp$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ ；
（III）求直线 $B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值．

（20）（本题 15 分）已知曲线 C 是到点 $\mathrm{P}\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y=-\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹。 $\ell$ 是过点 $\mathrm{Q}(-1$ ， 0 ）的直线，$M$ 是 $C$ 上（不在 $\ell$ 上）的动点；$A , B$在 $\ell$ 上，$M A \perp \ell, M B \perp x$ 轴（如图）。

（第 20 预）

（I）求曲线 C 的方程；
（II）求出直线 $\ell$ 的方程，使得 $\frac{|Q B|^{2}}{|Q A|}$ 为常数。