数列 a _ n 满足 a _ n + 2 + ( - 1…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】7

【解析】

【分析】

对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 $a _ { 1 }$ 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 $a _ { 1 }$ 方程，求解即可得出结论.

【详解】 $a _ { n + 2 } + ( - 1 ) ^ { n } a _ { n } = 3 n - 1$

当n为奇数时， $ { a _ { n + 2 } } = { a _ { n } } + 3 { n - 1 }$ ；当n为偶数时， $a _ { n + 2 } + a _ { n } = 3 n - 1$

设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 n项和为 $S _ { n }$ ，

$$ S _ { 1 6 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } + \cdots + a _ { 1 6 } $$

$$ = a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } \cdots + a _ { 1 5 } + ( a _ { 2 } + a _ { 4 } ) + \cdots ( a _ { 1 4 } + a _ { 1 6 } ) $$

$$ = a _ { 1 } + ( a _ { 1 } + 2 ) + ( a _ { 1 } + 1 0 ) + ( a _ { 1 } + 2 4 ) + ( a _ { 1 } + 4 4 ) + ( a _ { 1 } + 7 0 ) $$

$$ + ( a _ { 1 } + 1 0 2 ) + ( a _ { 1 } + 1 4 0 ) + ( 5 + 1 7 + 2 9 + 4 1 ) $$

$$ = 8 a _ { 1 } + 3 9 2 + 9 2 = 8 a _ { 1 } + 4 8 4 = 5 4 0 \ : , $$

$$ \therefore a _ { 1 } = 7 . $$

故答案为：7.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.