2022_新课标 I 卷 (2022)
17．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2$ ．
(1) $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$; (2) 见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=1+\frac{1}{3}(n-1)=\frac{n+2}{3}$ ，得到 $S_{n}=\frac{(n+2) a_{n}}{3}$ ，利用和与项的关系得到当 $n \geq 2$ 时，
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{(n+2) a_{n}}{3}-\frac{(n+1) a_{n-1}}{3}$ ，进而得：$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$ ，利用累乘法求得
$a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，检验对于 $n=1$ 也成立，得到 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ ；
②由①的结论，利用裂项求和法得到 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$ ，进而证得．
【小问 1 详解】
$\because a_{1}=1, \therefore S_{1}=a_{1}=1, \therefore \frac{S_{1}}{a_{1}}=1$ ，
又 $\because\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列，
$\therefore \frac{S_{n}}{a_{n}}=1+\frac{1}{3}(n-1)=\frac{n+2}{3}, \therefore S_{n}=\frac{(n+2) a_{n}}{3}$ ，
∴ 当 $n \geq 2$ 时，$S_{n-1}=\frac{(n+1) a_{n-1}}{3}$ ，
$\therefore a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{(n+2) a_{n}}{3}-\frac{(n+1) a_{n-1}}{3}$ ，
整理得：$(n-1) a_{n}=(n+1) a_{n-1}$ ，
即 $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$ ，
$\therefore a_{n}=a_{1} \times \frac{a_{2}}{a_{1}} \times \frac{a_{3}}{a_{2}} \times \ldots \times \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \times \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
$=1 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \ldots \times \frac{n}{n-2} \times \frac{n+1}{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
显然对于 $n=1$ 也成立，
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ ；
【小问 2 详解】
$\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$,
$\therefore \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<2$