（13分） f ( x ) = cos ( 2 x + )…——2025 高考数学第 15 题答案解析

【解答】解：（1） $f ( 0 ) = \cos \varphi = { \frac { 1 } { 2 } }$ ，由 $0 \leqslant \varphi < \pi$ ，故 $\varphi = \frac { \pi } { 3 }$

> ② $f ( x ) = \cos ( 2 x + \frac { \pi } { 3 } )$ $f ( x - { \frac { \pi } { 6 } } ) = \cos 2 x$ $g ( x ) = f ( x ) + f ( x - { \frac { \pi } { 6 } } ) = { \sqrt { 3 } } \cos ( 2 x + { \frac { \pi } { 6 } } )$

故 $g ( x )$ 的值域为 $\left[ - { \sqrt { 3 } } , { \sqrt { 3 } } \right]$

区 $2 k \pi { \leqslant } 2 x + { \frac { \pi } { 6 } } { \leqslant } \pi + 2 k \pi$ ，解得 $- { \frac { \pi } { 1 2 } } + k \pi { \leqslant x } { \leqslant } { \frac { 5 \pi } { 1 2 } } + k \pi$

即 g(x)的单调递减区间为 $\left[ - \frac { \pi } { 1 2 } + k \pi , \frac { 5 \pi } { 1 2 } + k \pi \right]$ $k \in \mathbf { Z }$

同理可得 $g ( x )$ 的单调递增区间为 $\left[ { \frac { 5 \pi } { 1 2 } } + k \pi , { \frac { 1 1 \pi } { 1 2 } } + k \pi \right]$ $k \in \mathbf { Z }$