2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) 第 11 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

11．（5分）与正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B 、 C C_{1} 、 A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离相等的点（ ）

Accepted Answer

D

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】16：压轴题． 【分析】由于点 D 、 $\mathrm{B}_{1}$ 显然满足要求，猜想 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D}$ 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论． 【解答】解：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为 1 ，连接 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D}$ ，并在 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{D}$ 上任取一点 P ， 因为 $\overrightarrow{\mathrm{DB}_{1}}=(1,1,1)$ ， 所以设 $P(a, a, a)$ ，其中 $0 \leq a \leq 1$ ． 作 $\mathrm{PE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}$ ，垂足为 E ，再作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1}$ ，垂足为 F ， 则PF是点P到直线 $A_{1} D_{1}$ 的距离。 所以 $P F=\sqrt{a^{2}+(1-a)^{2}}$ ； 同理点 P 到直线 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CC}_{1}$ 的距离也是 $\sqrt{\mathrm{a}^{2}+(1-\mathrm{a})^{2}}$ ． 所以 $B_{1} D$ 上任一点与正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B 、 C C_{1} 、 A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离都相等， 所以与正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B 、 C C_{1} 、 A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离相等的点有无数个． 故选：D． ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/0aae46eb-80aa-4ae6-8113-762f26cfdbe9-08.jpg?height=479&width=410&top_left_y=1228&top_left_x=303) 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．

2010 高考数学第 11 题答案解析

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