2026_天津卷
9. 已知双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 _ { ( { \mathrm { a } } > 0 , { \mathrm { b } } > 0 ) }$ 的左焦点为F,A是右顶点,P是双曲线上一 点,满足 $| F A | = | F P | , \angle F A P = 3 0 ^ { \circ }$ ，则双曲线离心率为()
D
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】D
【解析】本题考查双曲线的定义及其几何性质、余弦定理在解三角形中的应用.$\triangle F P A \sharp , | F A | = | F P | = a + c , \angle F A P = 3 0 ^ { \circ }$ $\therefore \angle A P F = 3 0 ^ { \circ } , \angle P F A = 1 2 0 ^ { \circ } , \angle P A F ^ { \prime } = 1 5 0 ^ { \circ }$ 由余弦定理：$| A P | ^ { 2 } = | F A | ^ { 2 } + | F P | ^ { 2 } - 2 | F A | | F P | \cos 1 2 0 ^ { \circ }$ $= 2 ( a + c ) ^ { 2 } + ( a + c ) ^ { 2 } = 3 ( a + c ) ^ { 2 }$ $\therefore | A P | = { \sqrt { 3 } } ( a + c )$ 由双曲线定义：$| P F ^ { \prime } | = | P F | + 2 a = a + c + 2 a = 3 a + c$ $\therefore \triangle P A F ^ { \prime }$ 中由余弦定理.$| P F ^ { \prime } | ^ { 2 } = | P A | ^ { 2 } + | A F ^ { \prime } | ^ { 2 } - 2 | P A | \cdot | F ^ { \prime } A | \cos 1 5 0 ^ { \circ }$ $( 3 a + c ) ^ { 2 } = [ { \sqrt { 3 } } ( a + c ) ] ^ { 2 } + ( c - a ) ^ { 2 } - 2 ( c - a ) \cdot { \sqrt { 3 } } ( a + c ) \cdot ( - { \textstyle { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } )$ 整理得： $3 c ^ { 2 } - a c - 4 a ^ { 2 } = 0$ $\therefore 3 e ^ { 2 } - e - 4 = 0$ $\because \mathrm { e } > 1 ,$ $\therefore ^ { e = \frac { 4 } { 3 } }$ 故选：D