双曲线　·　历年高考数学真题与解析

12．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $\boldsymbol{C}$ 于 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$两点，若 $\left|F_{1} A\right|=13,|A B|=10$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的离心率为

19．已知双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=m(m>0)$ ，点 $P_{1}(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数， $0

记 $P_{n}$ 的坐标为 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）若 $k=\frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ；
（2）证明：数列 $\left\{x_{n}-y_{n}\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
③设 $S_{n}$ 为 $\Delta P_{n} P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n}=S_{n+1}$ ．

5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

6．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

12．已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．点 A 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\overrightarrow{F_{1} A} \perp \overrightarrow{F_{1} B}, \overrightarrow{F_{2} A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_{2} B}$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|=$

9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_{2}=2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（ ）

9．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$（ ）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若双曲线 $y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$ 相切，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

15．记双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$ ，写出满足条件＂直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点＂的 $e$ 的一个值 $\_\_\_\_$ ．

16．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 且 $x_{1}<0

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，则该双曲线的渐近线方程为

13．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ ，则 $C$ 的焦距为 $\_\_\_\_$ ．

19．（14分）（1）团队在 $O$ 点西侧、东侧 20 千米处设有 $A , B$ 两站点，测量距离发现一点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=20$ 千米，可知 $P$ 在 $A , B$ 为焦点的双曲线上，以 $O$ 点为原点，东侧为 $x$ 轴正半轴，北侧为 $y$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，$P$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 处，求双曲线标准方程和 $P$ 点坐标。
（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 $C , D$ 两站点，测量距离发现 $|Q A|-|Q B|=30$ 千米，$|Q C|-|Q D|=10$ 千米，求 $|O Q|$（精确到1米）和 $Q$ 点位置（精确到1米， $1^{\circ}$ ）
【思路分析】（1）求出 $a, ~ c, ~ b$ 的值即可求得双曲线方程，求出直线 $O P$ 的方程，与双曲线方程联立，即可求得 $P$ 点坐标；
（2）分别求出以 $A , B$ 为焦点，以 $C, ~ D$ 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 $Q$ 的坐标，从而求得 $|O Q|$ ，及 $Q$ 点位置。

21．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1}(-\sqrt{17}, 0) , F_{2}(\sqrt{17}, 0)\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=2$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设点 $T$ 在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $\mathrm{A} , B$ 两点和 $P, Q$ 两点，且 $|T A| \cdot|T B|=|T P| \cdot|T Q|$ ，求直线 $A B$ 的斜率与直线 $P Q$ 的斜率之和．

5．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（ ）

8.

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点重合，

抛物线的准线交双曲线于 $A, B$ 两点，交双曲线的渐近线于 $C , D$ 两点，若 $|C D|=\sqrt{2}|A B|$ ．则双曲线的离心率为（ ）

11．设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的两个焦点，$O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上且 $|O P|=2$ ，则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为（ ）

11．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\sqrt{5} . P$ 是 $C$上一点，且 $F_{1} P \perp F_{2} P$ ．若 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 4 ，则 $a=$

12．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\_\_\_\_$ ；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

14．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $y=\sqrt{2} x$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点，$A$ 为 $C$ 的右顶点，$B$ 为 $C$ 上的点，且 $B F$垂直于 $x$ 轴．若 $A B$ 的斜率为 3 ，则 $C$ 的离心率为

6．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1(\mathrm{a}>0)$ 的一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

8．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点，若 $\triangle O D E$ 的面积为 8 ，则 $C$ 的焦距的最小值为（ ）

9．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点，若 $\triangle O D E$ 的面积为 8 ，则 $C$ 的焦距的最小值为（ ）

10．已知 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 的一个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$O$ 为坐标原点，若 $|O P|=|O F|$ ，则 $\triangle O P F$ 的面积为（ ）

10．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上，$O$ 为坐标原点，若 $|P O|=|P F|$ ，则 $\triangle P F O$ 的面积为

10．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $130^{\circ}$ ，则 C 的离心率为

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点．若 $\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{F_{1} B} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ －

2．渐近线方程为 $x \pm y=0$ 的双曲线的离心率是（ ）

5．（5 分）已知双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-y^{2}=1 \quad(a>0)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$ ，则 $a=~(\quad)$

6．已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $|A B|=4|O F|$（ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为

7．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 经过点 $(3,4)$ ，则该双曲线的渐近线方程是 A．

10．（5分）已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点（4 ，0）到 C 的渐近线的距离为（ ）

11．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点，$F$ 为C的右焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$ ．若 $\triangle O M N$ 为直角三角形，则 $|M N|=$

11．（5分）设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 . b>0)$ 的左，右焦点，$O$是坐标原点。过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|=\sqrt{6}|O P|$ ，则 C 的离心率为（ ）

12．（5 分）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1(a>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $a=4$ ．

14．（5 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，双曲线 $N: \frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$ ．若双曲线 $N$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}-1$ ；双曲线 N 的离心率为 $\_\_\_\_$ 2 ．

18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $a \in R$ ，双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ ．
（1）若点 $(2,1)$ 在 $\Gamma$ 上，求 $\Gamma$ 的焦点坐标；
（2）若 $a=1$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $\Gamma$ 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 1 ，求实数 $k$ 的值．

2．（4 分）双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的焦点坐标是（ ）

5．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

6．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

（7）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A, B$ 两点．设 $A, B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1}+d_{2}=6$ ，则双曲线的方程为

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点 $F(c, 0)$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，则其离心率的值是 $\_\_\_\_$ ．

10．（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{3}{5} x$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 5

15．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为A，以 $A$ 为圆心，$b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ 、 $N$ 两点．若 $\angle M A N=$

$60^{\circ}$ ，则C的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

20．已知双曲线 $\Gamma: x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，直线 $l: y=k x+m(k m \neq 0), l$ 与 $\Gamma$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，$P^{\prime}$ 为 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点，直线 $P^{\prime} Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N(0, n)$ ；
（1）若点 $(2,0)$ 是 $\Gamma$ 的一个焦点，求 $\Gamma$ 的渐近线方程；
（2）若 $b=1$ ，点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$ ，且 $\overrightarrow{N P^{\prime}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P^{\prime} Q}$ ，求 $k$ 的值；
（3）若 $m=2$ ，求 $n$ 关于 $b$ 的表达式；

5．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y= \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为（ ）

5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线

的渐近线上，$\triangle \mathrm{OAF}$ 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为

5．（5分）若 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的离心率的取值范围是（）

5．（5分）已知 $F$ 是双曲线 $C$ ：$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点，$P$ 是 $C$ 上一点，且 $P F$ 与 $x$ 轴垂直 ，点 A 的坐标是（ 1,3 ），则 $\triangle \mathrm{APF}$ 的面积为（ ）

7．（5 分）（2016•浙江）已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（）

8．（5 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 $P, Q$ ，其焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，则四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ 的面积是 $\_\_\_\_$ ．

9．（5分）若双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2) { }^{2}+y^{2}=4$ 所截得的弦长为 2 ，则 $C$ 的离心率为（ ）

9．（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

12．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $2 x+y=0$ ，一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，则 $\mathrm{a}=$

13．（5 分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线为正方形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 所在的直线，点 $B$ 为该双曲线的焦点．若正方形 $O A B C$ 的边长为 2 ，则 $a=$ 2

13．（4分）（2016•浙江）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，若点 $P$ 在双曲线上，且 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 为锐角三角形，则 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|$ 的取值范围是＿$(2 \sqrt{7}, 8)$ 。

19、（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $q>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $a_{2}, a_{3}, a_{2}+a_{3}$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=2$ ，求 $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+\cdots+e_{n}^{2}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $\mathrm{q}>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $2 a_{2}, a_{3}, a_{2}+2$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=\frac{5}{3}$ ，证明：$e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}>\frac{4^{n}-3^{n}}{3^{n-1}}$ ．

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A , B$ 两点．
（1）若 7 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \triangle F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $|A B|=4$ ，求 $l$ 的斜率．

3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{7}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1$ 的焦距是 $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0$ 垂直，则双曲线的方程为

5．（5分）已知方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的取值范围是（ ）

6．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，四边形 ABCD 的面积为 2 b ，则双曲线的方程为（ ）

7．（5 分）（2016•浙江）已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（ ）

10．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 1，过 $F$ 作 $A F$ 的垂线与双曲线交于 $B, C$ 两点，过 $B, C$ 分别作 $A C, A B$ 的垂线交于点 $D$．若 $D$ 到直线 $B C$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

10．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+y=0$ ，则 $a= \frac{\sqrt{3}}{3}-$ ．

11．（5分）已知 $A$ ，$B$ 为双曲线 $E$ 的左，右顶点，点 $M$ 在 $E$ 上，$\triangle A B M$ 为等腰三角形，顶角为 $120^{\circ}$ ，则 E 的离心率为（ ）

12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=1$ 右支上的一个动点，若点 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离大于 $c$ 恒成立，则实数 $c$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

12．（5 分）已知 $(2,0)$ 是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一个焦点，则 $b=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

12．已知双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的顶点重合，$C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，若 $C_{2}$ 的一条渐近线的斜率是 $C_{1}$ 的一条渐近线的斜率的2倍，则 $C_{2}$ 的方程为 $\_\_\_\_$．

13．设 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$，使线段 $P F$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

15．（3分）已知双曲线过点 $(4, \sqrt{3})$ 且渐近线方程为 $y= \pm \frac{1}{2} x$ ，则该双曲线的标准方程是 $-\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$ 。

16．（5分）已知 F 是双曲线 $\mathrm{C}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{8}=1$ 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， $\mathrm{A}(0$ ， $6 \sqrt{6}$ ）．当 $\triangle A P F$ 周长最小时，该三角形的面积为 $\_\_\_\_$ $12 \sqrt{6}$。

（4）下列双曲线中，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y= \pm 2 x$ 的是

5．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一个焦点为 $\mathrm{F}(2,0)$ ，且双曲线的渐近线与圆 $(x-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=3$ 相切，则双曲线的方程为

5．过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，则 $|A B|=$

5．（5分）已知 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 上的一点，$F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的左、右两个焦点，若 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}<0$ ，则 $y_{0}$ 的取值范围是（）

6、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$ ，则此双曲线的离心率为

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, \mathrm{~b}>0)$ 的一条渐近线过点（ $2, \sqrt{3}$ ），且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{7} x$ 的准线上，则双曲线的方程为

7、过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 $A , B$ 两点，则 $|A B|=()()$

8．将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b(a \neq b)$ 同时增加 $m(m>0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

9、已知点 P 和 Q 的横坐标相同， P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍， P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ ．若 $\mathrm{C}_{1}$ 的渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x$ ，则 $\mathrm{C}_{2}$ 的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

9．将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b(a \neq b)$ 同时增加 $m(m>0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

9．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，过 F 做 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}$ 的垂线与双曲线交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，若 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B} \perp \mathrm{~A}_{2} C$ ，则双曲线的渐近线的斜率为

10．（5 分）设双曲线 C 的两个焦点为 $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0)$ ，一个顶点是（ 1 ， $0)$ ，则 C 的方程为 $\_\_\_\_$ $x^{2}-y^{2}=1$ ．

11．（5分）双曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的离心率为 2 ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 C 的焦距等于（ ）

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的离心率等于

（15）
已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 c$ ，右顶点为A，抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2 c$

，且 $|F A|=c$ ，则双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$。

19．（本小题满分 13 分）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}: y=2 x, l_{2}: y=-2 x$.
（1）求双曲线 $E$ 的离心率；
（2）如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_{1}, l_{2}$ 于 $A, B$ 两点 $(A, B$ 分别在第一，四象限），且 $\triangle O A B$ 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．

－图 5

20．（本小题满分 13 分）
如图，已知双曲线 $C_{n} \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的右焦点 $F$ ，点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，$A F \perp x$ 轴， $A B \perp O B, B F \| O A$（ $O$ 为坐标原点）．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）过 $C$ 上一点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$ 的直线 $l: \frac{x_{0} x}{a^{2}}-y_{0} y=1$ 与直线 $A F$ 相交于点 $M$ ，与直线 $x=\frac{3}{2}$ 相交于点 $N$ ，证明点 $P$ 在 $C$ 上移动时，$\left|\frac{M F}{N F}\right|$ 恒为定值，并求此定值．

21．如图 7，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ；双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ，离心率为 $e_{2}$ ，已知 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{3}-1$ ．
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）过 $F_{1}$ 点作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B, M$ 为 $A B$ 的中点，当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时，求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值．

｜ 17

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1 ~(a>0) ~$ 的离心率为2，则实数 $a=~(\quad)$

4．（5分）已知 $F$ 为双曲线 $C$ ：$x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 的一个焦点，则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为（ ）

5．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线平行于直线 $l: y=2 x+10$ ，双曲线的一个焦点在直线 $l$ 上，则双曲线的方程为

8．设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $\left(\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right)^{2}=b^{2}-3 a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

9．（5分）已知双曲线 $C$ 的离心率为 2 ，焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $\left|F_{1} A\right|=2 \mid F { }_{2} A \mid$ ，则 $\cos \angle A F_{2} F_{1}=$

9．过双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$ 。若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 $A , O$ 两点（ $O$ 为坐标原点），，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
В．$\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1$
C．$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1$
D．$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$，则 m 等于 $\_\_\_\_$．

14．设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 $|P F|_{1}+\left|P F_{2}\right|=6 a$，且 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30^{\circ}$，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$。

14．设 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 是双曲线 $\mathrm{C}, \frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的两个焦点。若在 C 上存在一点 P。使 $\mathrm{PF}_{1} \perp \mathrm{PF}_{2}$，且 $\angle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}=30^{\circ}$，则 C 的离心率为

2．已知 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\cos ^{2} \theta}=1$ 与 $C_{2}: \frac{y^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 的

21．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right| ,|A B| ,\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

3．双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的顶点到渐进线的距离等于

4．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为（ ）

4．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为

4．双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的顶点到其渐近线的距离等于

5．已知 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 与 $C_{2}: \frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}-\frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta \tan ^{2} \theta}=1$ 的

6．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线的距离是

6．（5 分）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

7．（ 5 分）（ $2013 \cdot$ 广东）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 $\mathrm{F}(3,0)$ ，离心率等于 $\frac{3}{2}$ ，则 C 的方程是 ）
A
－$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
－$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{5}=1$
－$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{\sqrt{5}}=1$

7．（5 分）双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的充分必要条件是（ ）

10．（5分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=16 \mathrm{x}$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

14．如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的两顶点为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，虚轴两端点为 $\mathrm{B} 1, \mathrm{~B} 2$ ，两焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ．若以 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆内切于菱形 $F_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ ，切点分别为 $A, B, C, D$ 。则
（I）双曲线的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ ；
（II）菱形 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 的面积 $\mathrm{S}_{1}$ 与矩形 ABCD 的面积 $\mathrm{S}_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

（14）设 $P$ 为直线 $y=\frac{b}{3 a} x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 左支的交点，$F_{1}$ 是左焦点， $P F_{1}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$

6．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的焦距为 10 ，点 $P(2,1)$ 在的渐近线上，则 $C$ 的方程为（

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $m$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

8．如图，$F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的

左、右两焦点，$B$ 是虚轴的端点，直线 $F_{1} B$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P, Q$ 两点，线段 $P Q$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$ ．若 $\left|M F_{1}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则 $C$ 的离心率是

（第8题图）

8．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\left|P F_{1}\right|=2 \left|P F_{2}\right|$ ，则 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=(\quad)$

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=12 \mathrm{x}$ 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

8．（5分）等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

10．已知双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一条渐近线的方程为 $y=2 x$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2011•辽宁）已知点 $(2,3)$ 在双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 上，C的焦距为 4 ，则它的离心率为 $\_\_\_\_$ 2 ．

5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1 \quad(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 $a$ 的值为（ ）
A 4
B 3
C 2
D 1

6．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 a 的值为

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离为 4 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为 $(-2,-$ 1），则双曲线的焦距为（ ）

13．在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma$ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，
$\vec{e}_{1}=(2,1) , \vec{e}_{2}=(2,-1)$ 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$ ，若

$ \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e}_{1}+\overrightarrow{b e_{2}}(a , b \in R) \text {, 则 } a , b \text { 满足的一个等式是_ } 4 a b=1 \_ \text {。 } $

13．（5分）（2010•北京）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 2 ，焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(4,0),(-4,0)$ ；渐近线方程为 $\_\_\_\_$ $y= \pm \sqrt{3} x$ 。

13。如图所示，直线 $\mathrm{x}=2$ 与双曲线 $\Gamma: \frac{\lambda^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的渐近线交于 $E_{1}, E_{2}^{A}$ 两点，记
$\overrightarrow{O E_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{O E_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}$ ，任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 P ，若 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e_{1}},+\overrightarrow{b e_{2}}(a , b \in R)$ ，则 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 满足的一个等式是 $\_\_\_\_$ $4 \mathrm{ab}=1$

（13）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的焦点相同。则双曲线的方程为 $\_\_\_\_$。

21．（12分）已知斜率为1的直线 $\mid$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．

22．（12分）已知斜率为1的直线与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．

（5）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $\mathrm{y}=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点在抛物线 $y^{2}=24 x$ 的准线上，则双曲线的方程为

（5）中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4, － 2 ），则它的离心率为

9．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$ ，则 P 到 x 轴的距离为（ ）

22．（14分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．

（4）双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ 的焦点到渐近线的距离为

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

7．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y=x$ ，点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \bullet \overrightarrow{P F_{2}}=$
A．-12
B．-2
C ． 0
D． 4

7．设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点，若 $F_{1}, F_{2}, P(0,2 b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为

（8）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，其一条渐进线方程为 $y=x$ ，点 $p\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=$
A -12
B -2
C 0
D 4

9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）

10．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（

11．（5分）设 $\triangle A B C$ 是等腰三角形，$\angle A B C=120^{\circ}$ ，则以 $A$ ，$B$ 为焦点且过点 $C$ 的双曲线的离心率为（ ）

13．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+8=0$ ．以圆 $C$ 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．设双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ．过点 $F$ 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$ ，则 $\triangle A F B$ 的面积为 $\_\_\_\_$。

2、双曲线 $\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的焦距为

21．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$ ｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向．
（I）求双曲线的离心率；
（II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．

21．（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$ ，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x-2 y=0$ ．
（I）求双曲线 $C$ 的方程；
（II）若以 $k(k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M, N$ ，且线段 $M N$

的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围．

22．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$

｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向．
（I）求双曲线的离心率；
（II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．

（22）（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$ ，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x-2 y=0$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）若以 $k(k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 C 相交于两个不同的点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围．

（7）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3: 2$ ，则双曲线的离心率是

7．（5 分）（2008 • 四川）若点 $P(2,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线的离心率为

（8）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3: 2$ ，则双曲线的离心率是

10．（5 分）（2008 • 山东）4．设椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$ ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26 ，若曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上的点到椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 ，则曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的标准方程为

9．（5分）设 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是（ ）

9．（5分）（2008•陕西）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 3 $0^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 M 点，若 $\mathrm{MF}_{2}$ 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（）