2024_全国甲卷 (2024·物理)
12．如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为 $L$ ，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为 $R$ ，其余电阻忽略不计，电容大小为 $C$ 。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于坚直方向且磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中。
（1）开关 S 闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为 $v_{0}$ 。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度 $v$ 的大小。
（2）当金属棒速度为 $v$ 时，断开开关 S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
【答案】①$v=\frac{v_{0}}{2}$ ；②$U=\frac{B L v_{0}}{4}, W=\frac{C B^{2} L^{2} v_{0}{ }^{2}}{8}$
【解析】
【详解】（1）开关 S 闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则
$$ F=F_{\text {安 }}=B I L $$
由闭合电路欧姆定律
$$ I=\frac{E}{R} $$
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为
$$ E=B L v_{0} $$
联立可得，恒定的外力为
$$ F=\frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{R} $$
在加速阶段，外力的功率为
$$ P_{\mathrm{F}}=F v=\frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{R} v $$
定值电阻的功率为
$$
P_{R}=I^{2} R=\frac{B^{2} L^{2} v^{2}}{R}
$$
若 $P_{\mathrm{F}}=2 P_{\mathrm{R}}$ 时,即
$$
\frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{R} v=2 \frac{B^{2} L^{2} v^{2}}{R}
$$
化简可得金属棒速度 $v$ 的大小为
$$
v=\frac{v_{0}}{2}
$$
（2）断开开关 S,电容器充电,则电容器与定值电阻串联,则有
$$
E=B L v=I R+\frac{q}{C}
$$
当金属棒匀速运动时,电容器不断充电,电荷量 q 不断增大,电路中电流不断减小,则金属棒所受安培力$F_{\text {安 }}=B I L$ 不断减小,而拉力的功率
$$
P_{\mathrm{F}}=F^{\prime} v=B I L v
$$
定值电阻功率
$$
P_{R}=I^{2} R
$$
当 $P_{\mathrm{F}}=2 P_{\mathrm{R}}$ 时有
$$
B I L v=2 I^{2} R
$$
可得
$$
I R=\frac{B L v}{2}
$$
根据
$$
E=B L v=I R+\frac{q}{C}
$$
可得此时电容器两端电压为
$$
U_{C}=\frac{q}{C}=\frac{B L v}{2}=\frac{1}{4} B L v_{0}
$$
从开关断开到此刻外力所做的功为
$$
W=\Sigma B I L(v \cdot \Delta t)=B L v \Sigma I \cdot \Delta t=B L v q
$$
其中
$$
q=\frac{C B L v}{2}
$$
联立可得
$$
W=\frac{C B^{2} L^{2} v_{0}^{2}}{8}
$$