如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为 L，导轨光滑无摩…——2024 高考物理第 12 题答案解析

【答案】（1）$v=\frac{v_{0}}{2}$ ；②$U=\frac{B L v_{0}}{4}, W=\frac{C B^{2} L^{2} v_{0}{ }^{2}}{8}$
【解析】
【详解】（1）开关 S 闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则

$$ F=F_{\text {安 }}=B I L $$

由闭合电路欧姆定律

$$ I=\frac{E}{R} $$

金属棒切割磁感线产生的感应电动势为

$$ E=B L v_{0} $$

联立可得，恒定的外力为

$$ F=\frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{R} $$

在加速阶段，外力的功率为

$$ P_{\mathrm{F}}=F v=\frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{R} v $$

定值电阻的功率为

$$ P_{R}=I^{2} R=\frac{B^{2} L^{2} v^{2}}{R} $$

若 $P_{\mathrm{F}}=2 P_{\mathrm{R}}$ 时，即

$$ \frac{B^{2} L^{2} v_{0}}{R} v=2 \frac{B^{2} L^{2} v^{2}}{R} $$

化简可得金属棒速度 $v$ 的大小为

$$ v=\frac{v_{0}}{2} $$

（2）断开开关 S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有

$$ E=B L v=I R+\frac{q}{C} $$

当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量 q 不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力$F_{\text {安 }}=B I L$ 不断减小，而拉力的功率

$$ P_{\mathrm{F}}=F^{\prime} v=B I L v $$

定值电阻功率

$$ P_{R}=I^{2} R $$

当 $P_{\mathrm{F}}=2 P_{\mathrm{R}}$ 时有

$$ B I L v=2 I^{2} R $$

可得

$$ I R=\frac{B L v}{2} $$

根据

$$ E=B L v=I R+\frac{q}{C} $$

可得此时电容器两端电压为

$$ U_{C}=\frac{q}{C}=\frac{B L v}{2}=\frac{1}{4} B L v_{0} $$

从开关断开到此刻外力所做的功为

$$ W=\Sigma B I L(v \cdot \Delta t)=B L v \Sigma I \cdot \Delta t=B L v q $$

其中

$$ q=\frac{C B L v}{2} $$

联立可得

$$ W=\frac{C B^{2} L^{2} v_{0}^{2}}{8} $$