2012_退役省自主命题 (2012·文)
20、（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，常数 $\lambda>0$ ，且 $\lambda a_{1} a_{n}=S_{1}+S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $a_{1}>0, \lambda=100$ 。当 $n$ 为何值时，数列 $\left\{\lg \frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和最大？
（I）当 $a_{1}=0$ 时，$a_{n}=0$ ；当 $a_{1} \neq 0$ 时，$a_{n}=\frac{2^{n}}{\lambda}$ ，（II） 6
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
答案：（I）当 $a_{1}=0$ 时，$a_{n}=0$ ；当 $a_{1} \neq 0$ 时，$a_{n}=\frac{2^{n}}{\lambda}$ ，（II） 6
解析：（I）取 $n=1$ ，的 $\lambda a_{1}^{2}=2 S_{1}=2 a_{1}, a_{1}\left(\lambda a_{1}-2\right)=0$ ，若 $a_{1}=0$ ，则 $S_{n}=0$ ，
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=0-0=0$ ，所以 $a_{n}=0(n \geq 1)$ ，
若 $a_{1} \neq 0$ ，则 $a_{1}=\frac{2}{\lambda}$ ，
当 $n \geq 2$ 时， $2 a_{n}=\frac{2}{\lambda}+S_{n}, 2 a_{n-1}=\frac{2}{\lambda}+S_{n-1}$ ，两式相减得 $2 a_{n}-2 a_{n-1}=a_{n}$ ，所以
$a_{n}=2 a_{n-1}(n \geq 2)$ ，从而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，所以 $a_{n}=a_{1} \cdot 2^{n-1}=\frac{2}{\lambda} \cdot 2^{n-1}=\frac{2^{n}}{\lambda}$ ，
综上，当 $a_{1}=0$ 时，$a_{n}=0 ;$ 当 $a_{1} \neq 0$ 时，$a_{n}=\frac{2^{n}}{\lambda}$
（II）当 $a_{1}>0$ 且 $\lambda=100$ 时，令 $b_{n}=\lg \frac{1}{a_{n}}$ ，由（I）有 $b_{n}=\lg \frac{100}{2^{n}}=2-n \lg 2$ ，
所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是单调速减的等差数列（公差为 $-\lg 2$ ）
$b_{1}>b_{2}>\ldots>b_{6}=\lg \frac{100}{2^{6}}=\lg \frac{100}{64}>\lg 1=0$ ，
当 $n \geq 7$ 时，$b_{n} \leq b_{7}=\lg \frac{100}{2^{7}}=\lg \frac{100}{128}<\lg 1=0$ ，
故数列 $\left\{\lg \frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 6 项的和最大。
考点定位：本题考查等比数列、等差数列、对数等基本知识，意在考查考生思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化的数学思想。