（15）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F, C$ 与过原点的直线相交于 $A, B$ 两点，连接 $A F, B F$．若 $|A B|=10,|A F|=6, \cos \angle \mathrm{ABF}=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$．
参考答案
：$\frac{5}{7}$
（15）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2…——2013 高考数学第 16 题答案解析
2013_退役省自主命题 (2013·理)
题目指纹
这道题真正考什么？
核心知识
椭圆
核心考法
几何性质转代数数形结合
关键能力
应用填空题
最容易错
漏解审题不清
难度
区分题
先及格路线 · 圆锥曲线综合 · 高难题
如果目标是先及格，这道题现在可以先放。
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
完整解析 · 逐步详解
［答案］：$\frac{5}{7}$
［解析］：三角形 $A F B$ 中，由余弦定理可得：$|A F|^{2}=|A B|^{2}+|B F|^{2}-2|A B||B F| \cos \angle A B F$代入得： $36=|B F|^{2}+100-2 \times 10 \times|B F| \times \frac{4}{5}$，解得 $|B F|=8$，由此可得三角形 ABF 为直角三角形。 $\mathrm{OF}=5$，即 $\mathrm{c}=5$．
由椭圆为中心对称图形可知：当右焦点为 $F_{2}$ 时，
$\triangle A F B \cong \triangle B F_{2} A, 2 a=A F+A F_{2}=14, a=7, e=\frac{5}{7}$
［ 考点定位］：本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质。
✅ 来源：2013年 · 全国 · 2013_退役省自主命题 (2013·理) · 第 16 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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