已知随圆 E: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2023 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）结合题意得到 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}, 2 b=4$ ，再结合 $a^{2}-c^{2}=b^{2}$ ，解之即可；

（2）依题意求得直线 $B C , P D$ 与 $P A$ 的方程，从而求得点 $M, N$ 的坐标，进而求得 $k_{M N}$ ，再根据题意求得 $k_{C D}$ ，得到 $k_{M N}=k_{C D}$ ，由此得解．

【小问 1 详解】

依题意，得 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $c=\frac{\sqrt{5}}{3} a$ ，
又 $A, C$ 分别为椭圆上下顶点，$|A C|=4$ ，所以 $2 b=4$ ，即 $b=2$ ，
所以 $a^{2}-c^{2}=b^{2}=4$ ，即 $a^{2}-\frac{5}{9} a^{2}=\frac{4}{9} a^{2}=4$ ，则 $a^{2}=9$ ，
所以随圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．

【小问 2 详解】

因为椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，所以 $A(0,2), C(0,-2), B(-3,0), D(3,0)$ ，

因为 $P$ 为第一象限 $E$ 上的动点，设 $P(m, n)(0<m<3,0<n<2)$ ，则 $\frac{m^{2}}{9}+\frac{n^{2}}{4}=1$ ，

易得 $k_{B C}=\frac{0+2}{-3-0}=-\frac{2}{3}$ ，则直线 $B C$ 的方程为 $y=-\frac{2}{3} x-2$ ，
$k_{P D}=\frac{n-0}{m-3}=\frac{n}{m-3}$ ，则直线 $P D$ 的方程为 $y=\frac{n}{m-3}(x-3)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3} x-2 \\ y=\frac{n}{m-3}(x-3)\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3(3 n-2 m+6)}{3 n+2 m-6} \\ y=\frac{-12 n}{3 n+2 m-6}\end{array}\right.$ ，即 $M\left(\frac{3(3 n-2 m+6)}{3 n+2 m-6}, \frac{-12 n}{3 n+2 m-6}\right)$ ，
而 $k_{P A}=\frac{n-2}{m-0}=\frac{n-2}{m}$ ，则直线 $P A$ 的方程为 $y=\frac{n-2}{m} x+2$ ，
令 $y=-2$ ，则 $-2=\frac{n-2}{m} x+2$ ，解得 $x=\frac{-4 m}{n-2}$ ，即 $N\left(\frac{-4 m}{n-2},-2\right)$ ，

又 $\frac{m^{2}}{9}+\frac{n^{2}}{4}=1$ ，则 $m^{2}=9-\frac{9 n^{2}}{4}, 8 m^{2}=72-18 n^{2}$ ，
所以 $k_{M N}=\frac{\frac{-12 n}{3 n+2 m-6}+2}{\frac{3(3 n-2 m+6)}{3 n+2 m-6}-\frac{-4 m}{n-2}}=\frac{(-6 n+4 m-12)(n-2)}{(9 n-6 m+18)(n-2)+4 m(3 n+2 m-6)}$
$=\frac{-6 n^{2}+4 m n-8 m+24}{9 n^{2}+8 m^{2}+6 m n-12 m-36}=\frac{-6 n^{2}+4 m n-8 m+24}{9 n^{2}+72-18 n^{2}+6 m n-12 m-36}$
$=\frac{-6 n^{2}+4 m n-8 m+24}{-9 n^{2}+6 m n-12 m+36}=\frac{2\left(-3 n^{2}+2 m n-4 m+12\right)}{3\left(-3 n^{2}+2 m n-4 m+12\right)}=\frac{2}{3}$ ，
又 $k_{C D}=\frac{0+2}{3-0}=\frac{2}{3}$ ，即 $k_{M N}=k_{C D}$ ，
显然，$M N$ 与 $C D$ 不重合，所以 $M N / / C D$ ．