2015 高考数学第 19 题答案解析

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $\mathrm{P}(0,1)$和点 $A(m, n)(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 PA 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（I）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示）；
（II）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ，问： y轴上是否存在点 Q ，使得 $\angle \mathrm{OQM}=\angle \mathrm{ONQ}$ ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．