（14 分）已知椭圆 C : x ^ 2 a ^ 2 +…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】2：创新题型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的

最值与范围问题．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质得出 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$ 求解即可．
（II）求解得出 $M\left(\frac{m}{1-n}, 0\right), N\left(\frac{m}{1+n}, 0\right)$ ，运用图形得出 $\tan \angle O Q M=\tan \angle \mathrm{ONQ}, ~ \frac{\mathrm{y}_{\mathrm{Q}}}{\mathrm{x}_{\mathrm{M}}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{Q}}}{\mathrm{y}_{\mathrm{Q}}}$ ，求解即可得出即 $\mathrm{y}_{\mathrm{Q}}{ }^{2}=\mathrm{x}_{\mathrm{M}} \bullet \mathrm{x}_{\mathrm{N}}, ~ \frac{\mathrm{~m}^{2}}{2}+\mathrm{n}^{2}$ ，根据 $\mathrm{m}, \mathrm{m}$ 的关系整体求解。

【解答】解：（I ）由题意得出 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$
解得：$a=\sqrt{2}, b=1, c=1$
$\therefore \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ，
$\because P(0,1)$ 和点 $A(m, n),-1$\therefore P A$ 的方程为：$y-1=\frac{n-1}{m} x, y=0$ 时，$x_{M}=\frac{m}{1-n}$
$\therefore M\left(\frac{m}{1-n}, 0\right)$
（II）∵ 点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，点 $A(m, n)(m \neq 0)$
$\therefore$ 点 $B(m,-n)(m \neq 0)$
∵ 直线 $P B$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，
$\therefore N\left(\frac{m}{1+n}, 0\right)$ ，

∵ 存在点 Q ，使得 $\angle \mathrm{OQM}=\angle \mathrm{ONQ}, \mathrm{Q}\left(0, \mathrm{y}_{\mathrm{Q}}\right)$ ，
$\therefore \tan \angle \mathrm{OQM}=\tan \angle \mathrm{ONQ}$,
$\therefore \frac{\mathrm{y}_{\mathrm{Q}}}{\mathrm{x}_{\mathrm{M}}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{y}_{\mathrm{Q}}}$ ，即 $\mathrm{y}_{\mathrm{Q}}{ }^{2}=\mathrm{x}_{\mathrm{M}} \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{N}}, \frac{\mathrm{m}^{2}}{2}+\mathrm{n}^{2}=1$
$\mathrm{y}_{\mathrm{a}}^{2}=\frac{\mathrm{m}^{2}}{1-\mathrm{n}^{2}}=2$,
$\therefore \mathrm{y}_{\mathrm{Q}}= \pm \sqrt{2}$,
故 y 轴上存在点 Q ，使得 $\angle \mathrm{OQM}=\angle \mathrm{ONQ}, \mathrm{Q}(0, \sqrt{2})$ 或 $\mathrm{Q}(0,-\sqrt{2})$
【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．