2016 高考数学第 19 题答案解析

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A(a, 0), B (0, b), ~ O(0,0), ~ \triangle O A B$ 的面积为 1 ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．求证：$|A N| \cdot|B M|$ 为定值．