（14 分）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】KL：直线与椭圆的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。

【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 $a, b, c$ 的关系，解方程可得 $a=2, b=1$ ，进而得到椭圆方程；
（II）方法一、设椭圆上点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，可得 $x_{0}{ }^{2}+4 y_{0}{ }^{2}=4$ ，求出直线 PA 的方程，令 $x=0$ ，求得 $y,|B M|$ ；求出直线 $P B$ 的方程，令 $y=0$ ，可得 $x,|A N|$ ，化简整理，即可得到 $|A N| \bullet|B M|$ 为定值 4 ．

方法二、设 $P(2 \cos \theta, \sin \theta),(0 \leqslant \theta<2 \pi)$ ，求出直线 $P A$ 的方程，令 $x=0$ ，求得 $y,|B M|$ ；求出直线 $P B$ 的方程，令 $y=0$ ，可得 $x,|A N|$ ，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到 $|A N| \bullet|B M|$ 为定值 4 ．
【解答】解：（ I ）由题意可得 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
又 $\triangle O A B$ 的面积为 1 ，可得 $\frac{1}{2} a b=1$ ，
且 $a^{2}-b^{2}=c^{2}$ ，
解得 $a=2, b=1, c=\sqrt{3}$ ，
可得椭圆 C 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；
（II）证法一：设椭圆上点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，
可得 $x_{0}{ }^{2}+4 y_{0}{ }^{2}=4$ ，
直线 PA：$y=\frac{y_{0}}{x_{0}-2}(x-2)$ ，令 $x=0$ ，可得 $y=-\frac{2 y_{0}}{x_{0}-2}$ ，
则 $|B M|=\left|1+\frac{2 y_{0}}{x_{0}-2}\right|$ ；
直线 PB：$y=\frac{y_{0}-1}{x_{0}} x+1$ ，令 $y=0$ ，可得 $x=-\frac{x_{0}}{y_{0}-1}$ ，
则 $|A N|=\left|2+\frac{x_{0}}{y_{0}-1}\right|$ ．
可得 $|A N| \cdot|B M|=\left|2+\frac{x_{0}}{y_{0}-1}\right| \cdot\left|1+\frac{2 y_{0}}{x_{0}-2}\right|$
$=\left|\frac{\left(x_{0}+2 y_{0}-2\right)^{2}}{\left(x_{0}-2\right)\left(y_{0}-1\right)}\right|=\left|\frac{x_{0}{ }^{2}+4 y_{0}{ }^{2}+4+4 x_{0} y_{0}-4 x_{0}-8 y_{0}}{2+x_{0} y_{0}-x_{0}-2 y_{0}}\right|$
$=\left|\frac{8+4 x_{0} y_{0}-4 x_{0}-8 y_{0}}{2+x_{0} y_{0}-x_{0}-2 y_{0}}\right|=4$ ，

即有 $|\mathrm{AN}| \bullet|\mathrm{BM}|$ 为定值4．
证法二：设 $P(2 \cos \theta, \sin \theta),(0 \leqslant \theta<2 \pi)$ ，
直线 PA：$y=\frac{\sin \theta}{2 \cos \theta-2}(x-2)$ ，令 $x=0$ ，可得 $y=-\frac{\sin \theta}{\cos \theta-1}$ ，
则 $|\mathrm{BM}|=\left|\frac{\sin \theta+\cos \theta-1}{1-\cos \theta}\right|$ ；
直线 PB：$y=\frac{\sin \theta-1}{2 \cos \theta} x+1$ ，令 $y=0$ ，可得 $x=-\frac{2 \cos \theta}{\sin \theta-1}$ ，
则 $|A N|=\left|\frac{2 \sin \theta+2 \cos \theta-2}{1-\sin \theta}\right|$ ．
即有 $|\mathrm{AN}| \cdot|\mathrm{BM}|=\left|\frac{2 \sin \theta+2 \cos \theta-2}{1-\sin \theta}\right| \cdot\left|\frac{\sin \theta+\cos \theta-1}{1-\cos \theta}\right|$
$=2\left|\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+1+2 \sin \theta \cos \theta-2 \sin \theta-2 \cos \theta}{1+\sin \theta \cos \theta-\sin \theta-\cos \theta}\right|$
$=2\left|\frac{2+2 \sin \theta \cos \theta-2 \sin \theta-2 \cos \theta}{1+\sin \theta \cos \theta-\sin \theta-\cos \theta}\right|=4$ ．
则 $|A N| \bullet|B M|$ 为定值4．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题。