（本小题满分 12 分） 设等差数列 a_ n 的前 n…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（12分）（2013•山东）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4}=4 S_{2}, a_{2 n}=2 a_{n}+1$ ．
①求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ 且 $T_{n}+\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\lambda$（ $\lambda$ 为常数）．令 $c_{n}=b_{2 n}(n \in N *)$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ ．

考点：等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列。
分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列\｛ $\left.a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）把 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式代入 $T_{n}+\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\lambda$ ，求出当 $n \geqslant 2$ 时的通项公式，然后由 $c_{n}=b_{2 n}$ 得数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的通项公式，最后利用错位相减法求其前 n 项和。
解答：解：（1）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，由 $a_{2 n}=2 a_{n}+1$ ，取 $n=1$ ，得 $a_{2}=2 a_{1}+1$ ，即 $a_{1}-d+1=0$①再由 $S_{4}=4 S_{2}$ ，得 $4 a_{1}+\frac{4 \times 3 d}{2}=4\left(a_{1}+a_{1}+d\right)$ ，即 $d=2 a_{1}$（2）
联立①、②得 $a_{1}=1, d=2$ ．
所以 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d=1+2(n-1)=2 n-1$ ；
（2）把 $a_{n}=2 n-1$ 代入 $T_{n}+\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\lambda$ ，得 $T_{n}+\frac{2 n}{2^{n}}=\lambda$ ，则 $T_{n}=\lambda-\frac{2 n}{2^{n}}$ 。
所以 $\mathrm{b}_{1}=\mathrm{T}_{1}=\lambda-1$ ，
当 $n \geqslant 2$ 时，$b_{n}=T_{n}-T_{n-1}=\left(\lambda-\frac{2 n}{2^{n}}\right)-\left(\lambda-\frac{2(n-1)}{2^{n-1}}\right)=\frac{n-2}{2^{n-1}}$ ．
所以 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}-2}{2^{\mathrm{n}-1}}, \mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}}=\frac{2 \mathrm{n}-2}{2^{2 \mathrm{n}-1}}=\frac{\mathrm{n}-1}{4^{\mathrm{n}-1}}$ ．
$R_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}=0+\frac{1}{4^{1}}+\frac{2}{4^{2}}+\cdots+\frac{n-1}{4^{n-1}}(3)$
$\frac{1}{4} R_{n}=\frac{1}{4^{2}}+\frac{2}{4^{3}}+\cdots+\frac{n-1}{4^{n}}(4)$
（3）－（4）得：$\frac{3}{4} R_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}-\frac{n^{-1}}{4^{n}}=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{4}}-\frac{n-1}{4^{n}}$
所以 $R_{n}=\frac{4}{9}\left(1-\frac{3 n+1}{4^{n}}\right)$ ；
所以数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}=\frac{4}{9}\left(1-\frac{3 n+1}{4^{n}}\right)$ 。
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题。