（18）（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 A B…——2012 高考数学第 18 题答案解析

解析：①证法－：连结 $A B^{\prime}, A C^{\prime}$ ．由已知 $\angle B A C=90^{\circ}$ ，
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ，三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 为直三棱柱，所以 M 为 $A B^{\prime}$ 中点，
又因为 N 为 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点，所以 $M N / / A C$ ．
又 $M N \not \subset$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}, A C^{\prime} \subset$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}$ ，因此 $M N / /$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}$
证法二：取 $A B^{\prime}$ 中点 p ，连结 $\mathrm{MP}, \mathrm{NP}$ ，而 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别为 $A B^{\prime}$ 与 $\mathrm{B}^{\prime} C^{\prime}$ 的中点，所以 $\mathrm{MP} / / A A^{\prime}$ ， $\mathrm{PN} / / A C^{\prime}$ ，所以 $\mathrm{MP} / /$ 平面 $\mathrm{ACC}^{\prime}, \mathrm{PN} / /$ 平面 $\mathrm{ACC}^{\prime}$, 又 $M P \cap N P=P$ ，因此平面 $M P N / /$ 平面 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{ACC}$ ．而 $\mathrm{MN} \subset$ 平面 $M P N$ ，因此 $\mathrm{MN} / /$ 平面 $\mathrm{A} \mathrm{ACC}^{\prime}$
> ②解法－：连结 BN ，由题意 $A^{\prime} N \perp B^{\prime} C^{\prime}$ ，平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \cap$ 平面 $B^{\prime} B C C^{\prime}$ ，所以 $A^{\prime} N \perp$ 平面 $\mathrm{N} B C$ ．

又 $A^{\prime} N=\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime}=1$ ，故 $V_{A^{\prime}-M N C}=V_{N-A^{\prime} M C}=\frac{1}{2} V_{N-A^{\prime} B C}=\frac{1}{2} V_{A^{\prime}-N B C}=\frac{1}{6}$ ．
解法二：$V_{A^{\prime}-M N C}-V_{A^{\prime}-N B C}-V_{M-B C C}=\frac{1}{2} V_{A^{\prime}-N B C}=\frac{1}{6}$ ．
考点定位：本大题主要以三棱柱为几何背䁁考查线面平行的判定和椎体体积的求法，突出考查空间想象能力和计算能力。