15．（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ ，其中 $m>0$ ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{b}$ 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
参考答案
$(3,+\infty)$
（5 分）（2016 • 山东）已知函数 f(x)= ar…——2016 高考数学第 15 题答案解析
2016_退役省自主命题 (2016·理)
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【解答】
（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ ，其中 $m>0$ ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{b}$ 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （3，＋$\infty$ ）。
【考点】根的存在性及根的个数判断。
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用。
【分析】作出函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ 的图象，依题意，可得 $4 m-m^{2}<m(m>$ 0 ），解之即可。
【解答】解：当 $m>0$ 时，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ 的图象如下：
$\because x>m$ 时，$f(x)=x^{2}-2 m x+4 m=(x-m)^{2}+4 m-m^{2}>4 m-m^{2}$ ，
$\therefore \mathrm{y}$ 要使得关于 x 的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{b}$ 有三个不同的根，
必须 $4 m-m^{2}<m(m>0)$ ，
即 $m^{2}>3 m ~(m>0) ~$ ，
解得 $m>3$ ，
$\therefore \mathrm{m}$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$ ，
故答案为：$(3,+\infty)$ 。
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到 $4 m-m^{2}<m$ 是难点，属于中档题。
✅ 来源：2016年 · 全国 · 2016_退役省自主命题 (2016·理) · 第 15 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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