函数与方程　·　历年高考数学真题与解析

11．若函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}(a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（ ）。

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则（ ）

22．已知函数 $f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：$f(x)$ 有一个零点
①$\frac{1}{2}2 a$ ；
② $0

9.

设 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos (2 \pi x-2 \pi a) . & x

20．已知函数 $f(x)=x^{3}-k x+k^{2}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

20．已知函数 $f(x)=2 \sin x-x \cos x-x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）证明：$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x \in[0, \pi]$ 时，$f(x) \geq a x$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x-x-1$ ．证明：
①$f(x)$ 存在唯一的极值点；

②$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

11．（6 分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：＂今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？＂设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 $x, y, z$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=100 \\ 5 x+3 y+\frac{1}{3} z=100\end{array}\right.$ ，当 $z=81$ 时，$x=8, y=11$ 。

15．（6 分）已知 $\lambda \in R$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-4, x \geqslant \lambda \\ x^{2}-4 x+3, x<\lambda\end{array}\right.$ ，当 $\lambda=2$ 时，不等式 $f(x) <0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $\{x \mid 1

21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$ 。
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

14．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

20．（13 分）设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
②设 $a=b=4$ ，若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围；
（3）求证：$a^{2}-3 b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件．

16．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于 $\_\_\_\_$ ．
－【答案】9

19．（13 分）设函数 $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-k \ln x, k>0$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（2）证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．

21．已知函数 $f(x)=-2(x+a) \ln x+x^{2}-2 a x-2 a^{2}+a$ ，其中 $a>0$ ．
①设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，评论 $g(x)$ 的单调性；
（2）证明：存在 $a \in(0,1)$ ，使得 $f(x) \geq 0$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立，且 $f(x)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 内有唯一解．

21．（本小题满分 12 分）设 $f_{n}(x)$ 是等比数列 $1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}$ 的各项和，其中 $x>0, n \in \mathrm{~N}$， $n \geq 2$.
（I）证明：函数 $\mathrm{F}_{n}(x)=f_{n}(x)-2$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_{n}$ ），且 $x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{n}^{n+1}$；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_{n}(x)$，比较 $f_{n}(x)$

与 $g_{n}(x)$ 的大小，并加以证明．

8．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于

14．过圆外一点 $P$ 作圆的切线 $P A$（ $A$ 为切点），再作割线 $P B C$ 分别交圆于 $B , C$ ，若 $P A=6$ ， $A C=8, B C=9$ ，则 $A B=$

21．（本小题满分 13 分）

设函数 $f(x)=\ln x+\frac{m}{x}, m \in R$．
①当 $m=e$（ $e$ 为自然对数的底数）时，求 $f(x)$ 的极小值；
（2）讨论函数 $g(x)=f^{\prime}(x)-\frac{x}{3}$ 零点的个数；
（3）若对任意 $b>a>0, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

（10）若函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有极值点 $x_{1}, x_{2}$，且 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$，则关于 $x$ 的方程 $3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数是

（10）．已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$，若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数为

（20）（本小题满分 13 分）
设函数 $f_{x}(x)=-1+x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}+\ldots+\frac{x^{n}}{n^{2}}\left(x \in R, n \in N^{*}\right)$，证明：
（I）对每个 $n \in N^{*}$，存在唯一的 $x_{n} \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_{x}\left(x_{n}\right)=0$；
（II）对任意 $p \in N^{*}$，由（I）中 $x_{n}$ 构成的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0

21．（6分 +8 分）已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ；
（1）若 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，求 $\omega$ 的取值范围；

（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图像，区间 $[a, b](a, b \in R$ 且 $a

22．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x-1+\frac{a}{e^{x}} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数 $)$
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的极值；
（III）当 $a=1$ 时，若直线 $l: y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．

18．（本小题满分 16 分）
若函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 取得极大值或者极小值则 $x=x 0$ 是 $y=f(x)$ 的极值点

已知 $a, b$ 是实数， 1 和 -1 是函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$ 的两个极值点．
（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；
②设函数 $g(x)$ 的导函数 $g^{\prime}(x)=f(x)+2$ ，求 $g(x)$ 的极值点；
③设 $h(x)=f(f(x))-c$ ，其中 $c \in[-2,2]$ ，求函数 $y=h(x)$ 的零点个数．

19．（本小题满分14分）已知函数 $f(x)=4 x^{3}+3 t x^{2}-6 t x+t-1, x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（I）当 $t=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）当 $t \neq 0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

（III）证明：对任意的 $t \in(0,+\infty), f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点．

22．（13分）（2011•湖南）已知函数 $f(x)=x^{3}, g(x)=x+\sqrt{x}$ ．
（I）求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的零点个数．并说明理由；
（II）设数列 \｛
$\left.a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 满足 $a_{1}=a \quad(a>0), f\left(a_{n+1}\right)=g\left(a_{n}\right)$ ，证明：存在常数 $M$ ，使得对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \leq M$ ．

一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x-1, a \neq 0$
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，直线 $y=m$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，求 $m$ 的取值范围。

22．（14 分）（2008 • 四川）已知 $x=3$ 是函数 $f(x)=a \ln (1+x)+x^{2}-10 x$ 的一个极值点．
（I）求 a ；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围．