设 a R，函数 f(x)= array ll cos (…——2021 高考数学第 9 题答案解析

## 【答案】A

## 【解析】

【分析】由 $x^{2}-2(a+1) x+a^{2}+5=0$ 最多有 2 个根，可得 $\cos (2 \pi x-2 \pi a)=0$ 至少有 4 个根，分别讨论当 $x

【详解】 $\because x^{2}-2(a+1) x+a^{2}+5=0$ 最多有 2 个根，所以 $\cos (2 \pi x-2 \pi a)=0$ 至少有 4 个根，

由 $2 \pi x-2 \pi a=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z$ 可得 $x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4}+a, k \in Z$ ，
由 $0<\frac{k}{2}+\frac{1}{4}+a①$x当 $-6 \leq-2 a-\frac{1}{2}<-5, f(x)$ 有 5 个零点，即 $\frac{9}{4}当 $-7 \leq-2 a-\frac{1}{2}<-6, f(x)$ 有 6 个零点，即 $\frac{11}{4}（2）当 $x \geqslant a$ 时，$f(x)=x^{2}-2(a+1) x+a^{2}+5$ ，
$\Delta=4(a+1)^{2}-4\left(a^{2}+5\right)=8(a-2)$,
当 $a<2$ 时，$\Delta<0, f(x)$ 无零点；

当 $a=2$ 时，$\Delta=0, f(x)$ 有 1 个零点；
当 $a>2$ 时，令 $f(a)=a^{2}-2 a(a+1)+a^{2}+5=-2 a+5 \geq 0$ ，则 $2

所以若 $a>\frac{5}{2}$ 时，$f(x)$ 有 1 个零点．
综上，要使 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恰有 6 个零点，则应满足
$\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{4}\frac{5}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\frac{11}{4}则可解得 $a$ 的取值范围是 $\left(2, \frac{9}{4}\right] \cup\left(\frac{5}{2}, \frac{11}{4}\right]$ ．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 $x

## 第II卷

## 注意事项

## 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共 11 小题，共 105 分．
二、填空题，本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，试题中包含两个空的
，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分。