日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射…——2020 高考数学第 4 题答案解析

【解答】
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的㬍针投射到㬍面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为 $O$ ），地球上一点 $A$ 的纬度是指 $O A$ 与地球赤道所在平面所成角，点 $A$ 处的水平面是指过点 $A$ 且与 $O A$ 垂直的平面。在点 $A$ 处放置一个日㬍，若暑面与赤道所在平面平行，点 $A$ 处的纬度为北纬 $40^{\circ}$ ，则晷针与点 $A$ 处的水平面所成角为

A． $20^{\circ}$
B． $40^{\circ}$
C． $50^{\circ}$
D． $90^{\circ}$

【答案】B

## 【解析】

## 【分析】

画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定

有关截线的关系，根据点 $A$ 处的纬度，计算出暑针与点 $A$ 处的水平面所成角．
【详解】画出截面图如下图所示，其中 $C D$ 是赤道所在平面的截线；$l$ 是点 $A$ 处的水平面的截线，依题意可知 $O A \perp l ; A B$ 是暑针所在直线．$m$ 是暑面的截线，依题意依题意，暑面和赤道平面平行，晷针与暑面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 $m / / C D$ 、根据线面垂直的定义可得 $A B \perp m$ ．
由于 $\angle A O C=40^{\circ}, m / / C D$ ，所以 $\angle O A G=\angle A O C=40^{\circ}$ ，
由于 $\angle O A G+\angle G A E=\angle B A E+\angle G A E=90^{\circ}$ ，
所以 $\angle B A E=\angle O A G=40^{\circ}$ ，也即晷针与点 $A$ 处的水平面所成角为 $\angle B A E=40^{\circ}$ ．
故选：B

【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题。