已知函数 f(x)=sin (ω x+ )，如图 A, B…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

## 【解析】

【分析】设 $A\left(x_{1}, \frac{1}{2}\right), B\left(x_{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，依题可得，$x_{2}-x_{1}=\frac{\pi}{6}$ ，结合 $\sin x=\frac{1}{2}$ 的解可得，$\omega\left(x_{2}-x_{1}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ ，从而得到 $\omega$ 的值，再根据 $f\left(\frac{2}{3} \pi\right)=0$ 以及 $f(0)<0$ ，即可得 $f(x)=\sin \left(4 x-\frac{2}{3} \pi\right)$ ，进而求得 $f(\pi)$ ．

【详解】设 $A\left(x_{1}, \frac{1}{2}\right), B\left(x_{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，由 $|A B|=\frac{\pi}{6}$ 可得 $x_{2}-x_{1}=\frac{\pi}{6}$ ，
由 $\sin x=\frac{1}{2}$ 可知，$x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ 或 $x=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ，由图可知，
$\omega x_{2}+\varphi-\left(\omega x_{1}+\varphi\right)=\frac{5}{6} \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{2 \pi}{3}$ ，即 $\omega\left(x_{2}-x_{1}\right)=\frac{2 \pi}{3}, \therefore \omega=4$ ．
因为 $f\left(\frac{2}{3} \pi\right)=\sin \left(\frac{8 \pi}{3}+\varphi\right)=0$ ，所以 $\frac{8 \pi}{3}+\varphi=k \pi$ ，即 $\varphi=-\frac{8}{3} \pi+k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ．
所以 $f(x)=\sin \left(4 x-\frac{8}{3} \pi+k \pi\right)=\sin \left(4 x-\frac{2}{3} \pi+k \pi\right)$ ，
所以 $f(x)=\sin \left(4 x-\frac{2}{3} \pi\right)$ 或 $f(x)=-\sin \left(4 x-\frac{2}{3} \pi\right)$ ，
又因为 $f(0)<0$ ，所以 $f(x)=\sin \left(4 x-\frac{2}{3} \pi\right), \therefore f(\pi)=\sin \left(4 \pi-\frac{2}{3} \pi\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
故答案为：$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 $\omega$ 以及函数 $f(x)$ 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．