（5分）设抛物线C： y^ 2 =2 p x ~(p>0)…——2013 高考数学第 11 题答案解析

【考点】K7：抛物线的标准方程．
【专题】11：计算题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程算出 $|O F|=\frac{\mathrm{p}}{2}$ ，设以 $M F$ 为直径的圆过点 $A(0,2)$ ，在 Rt $\triangle A O F$ 中利用勾股定理算出 $|A F|=\sqrt{4+\frac{\mathrm{p}^{2}}{4}}$ ．再由直线 $A O$ 与以 $M F$ 为直径的圆相切得到 $\angle O A F=\angle A M F$ ，Rt $\triangle A M F$ 中利用 $\angle A M F$ 的正弦建立关系式，从而得到关于 p 的方程，解之得到实数 p 的值，进而得到抛物线 c 的方程。

【解答】解：∵ 抛物线C方程为 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ ，
∴ 焦点 F 坐标为 $\left(\frac{\mathrm{p}}{2}, 0\right)$ ，可得 $|\mathrm{OF}|=\frac{\mathrm{p}}{2}$ ，
∵ 以 $M F$ 为直径的圆过点（ 0,2 ），
∴ 设 $A(0,2)$ ，可得 $A F \perp A M$ ，
Rt $\triangle A O F$ 中，$|A F|=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4+\frac{p^{2}}{4}}$ ，

$\therefore \sin \angle O A F=\frac{|O F|}{|A F|}=\frac{\frac{\mathrm{p}}{2}}{\sqrt{4+\frac{\mathrm{p}^{2}}{4}}}$ ，
∵ 根据抛物线的定义，得直线 $A O$ 切以 $M F$ 为直径的圆于 $A$ 点，
$\therefore \angle \mathrm{OAF}=\angle \mathrm{AMF}$ ，可得Rt $\triangle \mathrm{AMF}$ ， $\sin \angle \mathrm{AMF}=\frac{|\mathrm{AF}|}{|\mathrm{MF}|}=\frac{\frac{\mathrm{p}}{2}}{\sqrt{4+\frac{\mathrm{p}^{2}}{4}}}$ ，
$\because|M F|=5, \quad|A F|=\sqrt{4+\frac{p^{2}}{4}}$
$\therefore \frac{\sqrt{4+\frac{\mathrm{p}^{2}}{4}}}{5}=\frac{\frac{\mathrm{p}}{2}}{\sqrt{4+\frac{\mathrm{p}^{2}}{4}}}$ ，整理得 $4+\frac{\mathrm{p}^{2}}{4}=\frac{5 \mathrm{p}}{2}$ ，解之可得 $\mathrm{p}=2$ 或 $\mathrm{p}=8$
因此，抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ 或 $y^{2}=16 x$ ．
故选：C．

**方法二**：
∵ 抛物线 C 方程为 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}(\mathrm{p}>0), ~ \therefore$ 焦点 $\mathrm{F}\left(\frac{\mathrm{p}}{2}, 0\right)$ ，
设 $M(x, y)$ ，由抛物线性质 $|M F|=x+\frac{p}{2}=5$ ，可得 $x=5-\frac{p}{2}$ ，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 $\frac{5-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}}{2}=\frac{5}{2}$

由已知圆半径也为 $\frac{5}{2}$ ，据此可知该圆与 y 轴相切于点 $(0,2)$ ，故圆心纵坐标为 2 ，则 M 点纵坐标为 4 ，

即 $M\left(5-\frac{p}{2}, 4\right)$ ，代入抛物线方程得 $p^{2}-10 p+16=0$ ，所以 $p=2$ 或 $p=8$ ．
所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ 或 $y^{2}=16 x$ ．
故选：C．

【点评】本题给出抛物线一条长度为 5 的焦半径 MF ，以 MF 为直径的圆交抛物线于点（ 0,2 ），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．