已知抛物线 C: y^ 2 =3 x 的焦点为 F，斜率为…——2019 高考数学第 19 题答案解析

【答案】① $12 x-8 y-7=0$ ；
②$\frac{4 \sqrt{13}}{3}$ ．

## 【解析】

【分析】

①设直线 $l: \mathrm{y}=\frac{3}{2} \mathrm{x}+\mathrm{m}, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ；根据抛物线焦半径公式可得 $x_{1}+x_{2}=1$ ；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于 $m$ 的方程，解方程求得结果；②设直线 $l: x=\frac{2}{3} y+t$ ；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式 ；利用 $\overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ 可得 $y_{1}=-3 y_{2}$ ，结合韦达定理可求得 $y_{1} y_{2}$ ；根据弦长公式可求得结果．

【详解】①设直线 $l$ 方程为： $\mathrm{y}=\frac{3}{2} \mathrm{x}+\mathrm{m}, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$
由抛物线焦半径公式可知：$|A F|+|B F|=x_{1}+x_{2}+\frac{3}{2}=4 \quad \therefore x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}$
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2} x+m \\ y^{2}=3 x\end{array}\right.$ 得： $9 x^{2}+(12 m-12) x+4 m^{2}=0$
则 $\Delta=(12 m-12)^{2}-144 m^{2}>0 \quad \therefore m<\frac{1}{2}$
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{12 m-12}{9}=\frac{5}{2}$ ，解得：$m=-\frac{7}{8}$
∴ 直线 $l$ 的方程为：$y=\frac{3}{2} x-\frac{7}{8}$ ，即： $12 x-8 y-7=0$
②设 $P(t, 0)$ ，则可设直线 $l$ 方程为：$x=\frac{2}{3} y+t$
联立 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3} y+t \\ y^{2}=3 x\end{array}\right.$ 得：$y^{2}-2 y-3 t=0$
则 $\Delta=4+12 t>0 \quad \therefore t>-\frac{1}{3}$
$\therefore y_{1}+y_{2}=2, \quad y_{1} y_{2}=-3 t$
$\because \overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B} \quad \therefore y_{1}=-3 y_{2} \quad \therefore y_{2}=-1, \quad y_{1}=3 \quad \therefore y_{1} y_{2}=-3$
则 $|A B|=\sqrt{1+\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}}=\frac{\sqrt{13}}{3} \cdot \sqrt{4+12}=\frac{4 \sqrt{13}}{3}$
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用．关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系．