抛物线　·　历年高考数学真题与解析

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

11．已知抛物线 $y^{2}=16 x$ ，则焦点坐标为 $\_\_\_\_$。

12．$(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 重合， A 为两曲线的交点，则原点到直线 $A F$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $O$ 为坐标原点，直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，$l$ 为 $C$ 的准线，则（ ）．

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为

6．已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 5 ，则 $|M F|=$

20．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

11．已知椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F_{1}$ 的方程并与抛物线联立，求出点 $P$ 的坐标，由此可得 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，进而可以求出 $P F_{1}, ~ P F_{2}$ 的长度 ，再由椭圆的定义即可求解。

14.

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F, P$ 为 $C$ 上一点，$P F$ 与 $x$ 轴垂直，$Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $P Q \perp O P$ ，若 $|F Q|=6$ ，则 $C$ 的准线方程为

20．已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ．
（1）求 $C$ 的方程，
（2）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值

21．如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|M F|=2$ ，

（1）求抛物线的方程；
②设过点 $F$ 的直线交抛物线与 $A , B$ 两点，斜率为 2 的直线 $l$ 与直线 $M A, M B, A B, x$ 轴依次交于点 $P, Q, R$

，$N$ ，且 $|R N|^{2}=|P N| \cdot|Q N|$ ，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的范围．

8.

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点重合，

抛物线的准线交双曲线于 $A, B$ 两点，交双曲线的渐近线于 $C , D$ 两点，若 $|C D|=\sqrt{2}|A B|$ ．则双曲线的离心率为（ ）

19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

5．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

7．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

7．设抛物线的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l . P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $P Q \perp l$ 于 $Q$ ，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（ ）．

11．（5 分）设抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为 $\_\_\_\_$ $(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ．

18．（14分）已知抛物线 $C: x^{2}=-2 p y$ 经过点（2，－1）．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 0 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M, N$ ，直线 $y=-1$ 分别交直线 $O M, O N$ 于点 $A$ 和点 $B$ ．求证：以 $A B$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．

19．已知抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A, B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$
（1）若 $|A F|+|B F|=4$ ，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ ，求 $|A B|$ ．

20．已知抛物线 $y^{2}=4 x, F$ 为焦点，$P$ 为准线 $l$ 上一动点，线段 $P F$ 与抛物线交于点 $Q$ ，定义 $d(P)=\frac{|F P|}{|F Q|}$ ．
（1）若点 $P$ 坐标为 $\left(-1,-\frac{8}{3}\right)$ ，求 $d(P)$ ；
（2）求证：存在常数 $a$ ，使得 $2 d(P)=|F P|+a$ 恒成立；
③设 $P_{1} , P_{2} , P_{3}$ 为准线 $l$ 上的三点，且 $\left|P_{1} P_{2}\right|=\left|P_{2} P_{3}\right|$ ，试比较 $d\left(P_{1}\right)+d\left(P_{3}\right)$ 与 $2 d\left(P_{2}\right)$ 的大小。

6．已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $|A B|=4|O F|$（ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为

9．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$

10．（5 分）已知直线 $l$ 过点 $(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴．若 1 被抛物线 $y^{2}=4 a x$ 截得的线段长为 4 ，则抛物线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(1,0)$。

19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）

利用＂平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线＂的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点 $\mathrm{O} , \mathrm{~A} , \mathrm{~B}$ 在抛物线上， OC 是抛物线的对称轴，$O C \perp A B$于 $\mathrm{C}, \mathrm{AB}=3$ 米， $\mathrm{OC}=4.5$ 米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 $\mathrm{SD}, \mathrm{AB} , \mathrm{DE}$ 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 $0.01^{\circ}$ ）。

（图 1）

（图2）

（图3）

8．（5分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$

交于 $M, N$ 两点，则 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=$

12．（5分）设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 I ．已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 $\angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}$ ，则圆的方程为 $\_\_\_\_$ ．

12．（5分）过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于点 $M$（ $M$ 在 $x$轴上方）， $\mid$ 为 $C$ 的准线，点 $N$ 在 $I$ ，且 $M N \perp I$ ，则 $M$ 到直线 $N F$ 的距离为（ ）

16．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点，$M$ 是 $C$ 上一点，$F M$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N|=$ $\_\_\_\_$ 6。

18．（14 分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 过点 $P(1,1)$ ．过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 作直线 $l$ 与抛物线 C 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 $\mathrm{OP} , \mathrm{ON}$ 交于点 $A$ ，$B$ ，其中 $O$ 为原点。
（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：$A$ 为线段 $B M$ 的中点．

21．（15 分）如图，已知抛物线 $\mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ，点 $\mathrm{A}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right), \mathrm{B}\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ ，抛物线上的点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\left(-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<\frac{3}{2}\right)$ ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．
（I）求直线 AP 斜率的取值范围；

（II）求 $|P A| \cdot|P Q|$ 的最大值。

9．（4分）（2016•浙江）若抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则 M 到 y 轴的距离是 $\_\_\_\_$。

10．（5分）以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ 、 $E$ 两点．已知 $|A B|=4 \sqrt{2},|D E|=2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的焦点到准线的距离为（）

14．（5分）（2016•天津）设抛物线 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \mathrm{p} \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=2 \mathrm{pt}\end{array}\right.$（t为参数， $\mathrm{p}>0$ ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．若 $|\mathrm{CF}|=2 \mid \mathrm{AF} \mid$ ，且 $\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 p 的值为 $\_\_\_\_$ ．

## 三、计算题

19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}(\mathrm{p}>0)$ 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 $|\mathrm{AF}|-1$ ，
（I）求 p 的值；
（II）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 $N$ ，$A N$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，求 $M$ 的横坐标的取值范围。

3．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点坐标是

5．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 与 $C$ 交于点 $P, P F \perp x$轴，则 $\mathrm{k}=$（ ）

8．设 $O$ 为坐标原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^{2}=2 p x(\mathrm{p}>0)$ 上任意一点，$M$ 是线段 $P F$ 上的点，且 $|P M|=2|M F|$ ，则直线 $O M$ 的斜率的最大值为

14．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的一个焦点，则 $p=$ $\_\_\_\_$．

19．（本小题满分 12 分）
已知点 $F$ 为抛物线 $E: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，点 $A(2, m)$ 在抛物线 $E$ 上，且 $|A F|=3$ ．
（I）求抛物线 $E$ 的方程；
（ II ）已知点 $G(-1,0)$ ，延长 $A F$ 交抛物线 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切．

3．已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过点 $(-1,1)$ ，则抛物线焦点坐标为

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, \mathrm{~b}>0)$ 的一条渐近线过点（ $2, \sqrt{3}$ ），且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{7} x$ 的准线上，则双曲线的方程为

7．抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 上的动点 $Q$ 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 $p=$

10．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, P$ 是 $I$ 上一点，$Q$ 是直线 $P F$与C的一个交点，若 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}=4 \overrightarrow{\mathrm{FQ}}$ ，则 $|\mathrm{QF}|=$（ ）

10．已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，点 $A, B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle A B O$ 与 $\triangle A F O$ 面积之和的最小值是（ ）

10．（5分）已知抛物线C：$y^{2}=x$ 的焦点为 $F, A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是C上一点，$A F=\left|\frac{5}{4} x_{0}\right|$ ，则 $\mathrm{x}_{0}=$（ ）

11．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

（15）
已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 c$ ，右顶点为A，抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2 c$

，且 $|F A|=c$ ，则双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$。

15．如图 4，正方形 $A B C D$ 和正方形 $D E F G$ 的边长分别为 $a, b(a0)$ 经过 $C, F$ 两点，则 $\frac{b}{a}=$ $\_\_\_\_$。

처 4

3．抛物线 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ 的准线方程是

21．（（本小题满分 12 分）
已知曲线 $\Gamma$ 上的点到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y=-3$ 的距离小 2．
（1）求曲线 $\Gamma$ 的方程；
（2）曲线 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$．直线 $y=3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M, N$，以 $M N$ 为

直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$，试探究：当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $A B$ 的长度是否发生变化？证明你的结论．

（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点重合 ，则该抛物线的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

8．已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $\mathrm{C}: y^{2}=2 p x$ 的准线上，记 C 的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为

11．（5分）设抛物线C：$y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的焦点为F，点M在C上，$|M F|=5$ ，若以 $M F$ 为直径的圆过点（ 0,2 ），则 $C$ 的方程为

18．（本小题满分 13 分）
如图，在正方形 $O A B C$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{9}$，连接 $O B_{i}$，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$交于点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$。

（1）求证：点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与拖物线 E 交于不同的两点 $M, N$，若 $\triangle O C M$ 与 $\triangle O C N$ 的面积之比为 $4: 1$，求直线 $l$ 的方程。

20．（本小题满分 12 分）

如图，抛物线 $E: y^{2}=4 x$ 的焦点为 F，准线 $l$ 与 x 轴的交点为 A．点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆

心，$|C O|$ 为半径作圆，设圆 C 与准线 $l$ 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$．
（I）若点 C 的纵坐标为 2，求 $|M N|$；
（II）若 $|A F|^{2}=|A M| \cdot|A N|$，求圆 C 的半径．

20．（14分）（ 2013 •广东）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 $\mathrm{F}(0, \mathrm{c}) ~(\mathrm{c}>0) ~$ 到直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，设 P 为直线 $l$ 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ ，其中 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为切点．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）当点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 AB 的方程；
（3）当点 P 在直线 $l$ 上移动时，求 $|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|$ 的最小值．

5、抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点到直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 的距离是

6．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线的距离是

8．（5分） O 为坐标原点， F 为抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=4 \sqrt{2} \mathrm{x}$ 的焦点， P 为 C 上一点，若 $|\mathrm{PF}| =4 \sqrt{2}$ ，则 $\triangle P O F$ 的面积为（ ）

9．（5 分）若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点坐标为 $(1,0)$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2 ；准线方程为 $x=-1$ ．

14．右图是抛物线形拱桥，当水面在 $l$ 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 □ $2 \sqrt{6}$米。

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

11．已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2}, \\ y=8 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）若斜率为 1 的

直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $x=-2$ ，则抛物线的方程是

2．（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $\mathrm{x}=-2$ ，则抛物线的方程是

21、（2011•浙江）已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=y$ ，圆 $C_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的圆心为点 $M$
（I）求点 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 的准线的距离；
（II）已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点（异于原点），过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 于 A ， B 两点，若过 M ， $P$ 两点的直线 $I$ 垂足于 $A B$ ，求直线 $l$ 的方程．

考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：综合题。

分析：（1）由题意抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ，可以知道其准线方程为 $y=-\frac{1}{4}$ ，有圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 的方程可以知道圆心坐标为 $(0,4)$ ，所求易得到所求的点到线的距离；

（II）由于已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点（异于原点），所以可以设出点 P 的坐标，利用过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，也可以设出点 $A, B$ 的坐标，再设出过 $P$ 的圆 $C_{2}$ 的切线方程，利用交与抛物线 $C_{2}$ 两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的 $M P \perp A B$ ，得到方程进而求解。

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离为 4 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为 $(-2,-$ 1），则双曲线的焦距为（ ）

14．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，$A, B$在 $x$ 轴上的正射影分别为 $D, C$ 。若梯形 $A B C D$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$

15．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的准线，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2。

（5）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $\mathrm{y}=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点在抛物线 $y^{2}=24 x$ 的准线上，则双曲线的方程为

（13）抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到准线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

（14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 与抛物线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 ，若 $P(2,2)$ 为 $A B$ 的中点，则抛物线 C 的方程为 $\_\_\_\_$。

22．（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 $\mathrm{A}(2,2)$ ，其焦在 $x$ 轴上。
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）求过点 F ，且与直线 OA 垂直的直线的方程；
③设过点 $M(m, 0)(m>0)$ 的直线交抛物线 C 于 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 两点， $\mathrm{ME}=2 \mathrm{DM}$ ，记D两点间的距离为 $f(m)$ ，求 $f(m)$ 关于 $m$ 的表达式。

11．已知点 $P$ 在抛物线 $y^{2}=4 x$ 上，那么点 $P$ 到点 $Q(2,-1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为

12．（5 分）（2008 • 四川）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A在 C 上且 $|\mathrm{AK}|=\sqrt{2}|\mathrm{AF}|$ ，则 $\triangle \mathrm{AFK}$ 的面积为（ ）

14．（5分）已知抛物线 $y=a x^{2}-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）已知抛物线 $y=a x^{2}-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $\_\_\_\_$ 2。

（7）设椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m>0, n>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点相同，离心

率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的方程为