抛物线 C: y^ 2 =4 x 的准线为 l, P 为…——2024 高考数学第 10 题答案解析

【答案】ABD

## 【解析】

【分析】 A 选项，抛物线准线为 $x=-1$ ，根据圆心到准线的距离来判断； B 选项，$P, A, B$ 三点共线时，先求出 $P$ 的坐标，进而得出切线长； C 选项，根据 $|P B|=2$ 先算出 $P$ 的坐标，然后验证 $k_{P A} k_{A B}=-1$ 是否成立；

D 选项，根据抛物线的定义，$|P B|=|P F|$ ，于是问题转化成 $|P A|=|P F|$ 的 $P$ 点的存在性问题，此时考察 $A F$的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 $P$ 点坐标进行求解．

【详解】 A 选项，抛物线 $y^{2}=4 x$ 的准线为 $x=-1$ ，
$\odot A$ 的圆心 $(0,4)$ 到直线 $x=-1$ 的距离显然是 1 ，等于圆的半径，
故准线 $l$ 和 $\odot A$ 相切， A 选项正确；
B 选项，$P, A, B$ 三点共线时，即 $P A \perp l$ ，则 $P$ 的纵坐标 $y_{P}=4$ ，

由 $y_{P}^{2}=4 x_{P}$ ，得到 $x_{P}=4$ ，故 $P(4,4)$ ，
此时切线长 $|P Q|=\sqrt{|P A|^{2}-r^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$ ， B 选项正确；
C 选项，当 $|P B|=2$ 时，$x_{P}=1$ ，此时 $y_{P}^{2}=4 x_{P}=4$ ，故 $P(1,2)$ 或 $P(1,-2)$ ，

当 $P(1,2)$ 时，$A(0,4), B(-1,2), k_{P A}=\frac{4-2}{0-1}=-2, k_{A B}=\frac{4-2}{0-(-1)}=2$ ，
不满足 $k_{P A} k_{A B}=-1$ ；
当 $P(1,-2)$ 时，$A(0,4), B(-1,2), k_{P A}=\frac{4-(-2)}{0-1}=-6, k_{A B}=\frac{4-(-2)}{0-(-1)}=6$ ，

不满足 $k_{P A} k_{A B}=-1$ ；
于是 $P A \perp A B$ 不成立， C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，$|P B|=|P F|$ ，这里 $F(1,0)$ ，
于是 $|P A|=|P B|$ 时 $P$ 点的存在性问题转化成 $|P A|=|P F|$ 时 $P$ 点的存在性问题，

$A(0,4), F(1,0), A F$ 中点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right), A F$ 中垂线的斜率为 $-\frac{1}{k_{A F}}=\frac{1}{4}$ ，
于是 $A F$ 的中垂线方程为：$y=\frac{2 x+15}{8}$ ，与抛物线 $y^{2}=4 x$ 联立可得 $y^{2}-16 y+30=0$ ，
$\Delta=16^{2}-4 \times 30=136>0$ ，即 $A F$ 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 $P$ 点，使得 $|P A|=|P F|$ ， D 选项正确．
**方法二**：（设点直接求解）
设 $P\left(\frac{t^{2}}{4}, t\right)$ ，由 $P B \perp l$ 可得 $B(-1, t)$ ，又 $A(0,4)$ ，又 $|P A|=|P B|$ ，
根据两点间的距离公式，$\sqrt{\frac{t^{4}}{16}+(t-4)^{2}}=\frac{t^{2}}{4}+1$ ，整理得 $t^{2}-16 t+30=0$ ，
$\Delta=16^{2}-4 \times 30=136>0$ ，则关于 $t$ 的方程有两个解，
即存在两个这样的 $P$ 点， D 选项正确．
故选：ABD