设函数 f(x)= |x+ 1 a |+|x-a| (a>…——2014 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）由 $a>0, f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a|$ ，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 $f(x) \geq 2$ 成立。
（II）由 $f$③$=\left|3+\frac{1}{a}\right|+|3-a|<5$ ，分当 $a>3$ 时和当 $0<a \leq 3$ 时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求。
【解答】解：（I ）证明：$\because a>0, f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a| \geq \left\lvert\,\left(x+\frac{1}{a}\right)-(x-a\right.$ ）$\left|=\left|a+\frac{1}{a}\right|=a+\frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}=2\right.$,
故不等式 $f(x) \geq 2$ 成立。
（II）$\because f$③$=\left|3+\frac{1}{a}\right|+|3-a|<5$ ，
∴ 当 $a>3$ 时，不等式即 $a+\frac{1}{a}<5$ ，即 $a^{2}-5 a+1<0$ ，解得 $3<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ ．
当 $0<a \leq 3$ 时，不等式即 $6-a+\frac{1}{a}<5$ ，即 $a^{2}-a-1>0$ ，求得 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}<a \leq 3$ ．
综上可得， a 的取值范围 $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)$ ．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．