2016_浙江卷 (2016·文)
8．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{A_{n}\right\} ,\left\{B_{n}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|$ ， $A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点 $P$ 与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则
【分析】设锐角的顶点为 0 ，再设 $\left|0 A_{1}\right|=a, ~\left|0 B_{1}\right|=b, ~\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|=b$ ， $\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|=d$ ，由于 $a, ~ b$ 不确定，判断 $C, D$ 不正确，设 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的底边 $B_{n} B_{n+1}$ 上的高为 $h_{n}$ ，运用三角形相似知识，$h_{n}+h_{n+2}=2 h_{n+1}$ ，由 $S_{n}=\frac{1}{2} d \cdot h_{n}$ ，可得 $S_{n}+S_{n+2}=2 S_{n+1}$ ，进而得到数列 $\left\{S_{n}\right\}$为等差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为 $0,\left|0 \mathrm{~A}_{1}\right|=\mathrm{a},\left|0 \mathrm{~B}_{1}\right|=\mathrm{b}$ ，
$\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|=b, \quad\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|=d$,
由于 $a, b$ 不确定，则 $\left\{d_{n}\right\}$ 不一定是等差数列，
$\left\{\mathrm{d}_{\mathrm{n}}{ }^{2}\right\}$ 不一定是等差数列，
设 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的底边 $B_{n} B_{n+1}$ 上的高为 $h_{n}$ ，
由三角形的相似可得 $\frac{h_{n}}{h_{n+1}}=\frac{O A_{n}}{O A_{n+1}}=\frac{a+(n-1) b}{a+n b}$ ，
$\frac{h_{n+2}}{h_{n+1}}=\frac{O A_{n+2}}{O A_{n+1}}=\frac{a+(n+1) b}{a+n b}$,
两式相加可得，$\frac{h_{n}+h_{n+2}}{h_{n+1}}=\frac{2 a+2 n b}{a+n b}=2$ ，
即有 $\mathrm{h}_{\mathrm{n}}+\mathrm{h}_{\mathrm{n}+2}=2 \mathrm{~h}_{\mathrm{n}+1}$ ，
由 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2} \mathrm{~d} \cdot \mathrm{~h}_{\mathrm{n}}$ ，可得 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}+\mathrm{S}_{\mathrm{n}+2}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}+1}$ ，
即为 $S_{n+2}-S_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$ ，
则数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 为等差数列。
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题。