l _ 1 : x - y + 6 = 0，与x轴交于点A…——2025 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
2

【分析】先根据两点间距离公式得出 $| A B | = 6 { \sqrt { 2 } }$ ，再计算出圆心到直线的距离d，根据弦长公式 $| C D | =$ $2 \sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } }$ 列等式求解即可.

因为直线 $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ 与x轴交于 $A ( - 6 , 0 )$ ，与y轴交于 $B ( 0 , 6 )$ ,所以 $\left| A B \right| = \sqrt { 6 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } } = 6 \sqrt { 2 }$ ,所以$| C D | = 2 { \sqrt { 2 } }$

圆 $( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$ 的半径为r，圆心(-1，3)到直线 $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ 的距离为 $d = { \frac { | - 1 - 3 + 6 | } { \sqrt { 2 } } } =$ $\sqrt { 2 }$

故 $\left| C D \right| = 2 { \sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } } } = 2 { \sqrt { r ^ { 2 } - \left( { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } } } = 2 { \sqrt { 2 } }$ ,解得 $r = 2$

故答案为：2.