2012_退役省自主命题 (2012·文)
17、（本小题满分 12 分）
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和系统 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$ 。
（I）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，求 $p$ 的值；
（II）求系统 $A$ 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
（I ）$\frac{1}{5}$ ，（II）$\frac{243}{250}$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
答案：（I ）$\frac{1}{5}$ ，（II）$\frac{243}{250}$
解析：（I）设＂至少有一个系统不发生故障＂为事件 C，那么
$1-P(\bar{C})=1-\frac{1}{10} \cdot P=\frac{49}{50}$ ，解得 $P=\frac{1}{5}$ $\_\_\_\_$ 6 分
（II）设＂系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的㐸数＂为事件 D，那么 $P(D)=C_{3}^{2} \frac{1}{10} \cdot\left(1-\frac{1}{10}\right)^{2}+\left(1-\frac{1}{10}\right)^{3}=\frac{972}{1000}=\frac{243}{250}$ ，
答：系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为
$\frac{243}{250}$
考点定位：本题考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件等概念即相关的计算，意在考查考生运用概率知识与方法解决实际问题的能力。