（21）（本小题满分 12 分） 设 f(x)=ln x+…——2012 高考数学第 21 题答案解析

解析：（．I ）证法－记 $g(x)=\ln x+\sqrt{x}-1-\frac{3}{2}(x-1)$ ，
则当 $\mathrm{x}>1$ 时，$g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{3}{2}<0$ ．
又 $g①=0$ 有 $g(x)<0$ ，即 $f(x)<\frac{3}{2}(x-1)$
证法二：由均值不等式，当 $\mathrm{x}>1$ 时， $2 \sqrt{x}<x+1$ ，故 $\sqrt{x}<\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$（1）
令 $k(x)=\ln x-x+1$ ，则 $k(1)=0, k^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-1<0$ 。
故 $k(x)<0$ ，即 $\ln x<x-1$

由①②得，当 $x>1$ 时，$f(x)<\frac{3}{2}(x-1)$ ．
（II）（证法一）
记 $h(x)=f(x)-\frac{9(x-1)}{x+5}$ ，
由（．I ）得 $h^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{54}{(x+5)^{2}}$

$$ =\frac{2+\sqrt{x}}{2 x}-\frac{54}{(x+5)^{2}} $$

$<\frac{x+5}{4 x}-\frac{54}{(x+5)^{2}}$
$=\frac{(x+5)^{3}-216 x}{4 x(x+5)^{2}}$
令 $g(x)=(x+5)^{3}-216 x$ ，

则当 $1<x<3$ 时，$g^{\prime}(x)=3(x+5)^{2}-216<0$
因此 $g(x)$ 在 $(1,3)$ 内是递减函数，

又由 $g(1)=0$ ，得 $g(x)<0$ ，

所以 $h^{\prime}(x)<0$
因此 $h(x)$ 在 $(1,3)$ 内是述减函数，

又由 $h(1)=0$ ，得 $h(x)<0$ ．
于是，当 $1<x<3$ 时，$f(x)<\frac{9(x-1)}{x+5}$
（证法二）：
记 $h(x)=(x+5) f(x)-9(x-1)$
则当 $1<x<3$ 时，由（．I ）得

$$ \begin{aligned} & h^{\prime}(x)=f(x)+(x+5) f^{\prime}(x)-9 \\ & <\frac{3}{2}(x-1)+(x+5)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)-9 \\ & =\frac{1}{2 x}[3 x(x-1)+(x+5)(2+\sqrt{x})-18 x] \\ & <\frac{1}{2 x}\left[3 x(x-1)+(x+5)\left(2+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)-18 x\right] \\ & =\frac{x}{4 x}\left(7 x^{2}-32 x+25\right)<0 \end{aligned} $$

因此 $h(x)$ 在 $(1,3)$ 内单调递减
又 $h(1)=0$ ，所以 $h(x)<0$ 即 $f(x)<\frac{9(x-1)}{x+5}$ ．
考点定位：本大题考查导数题目中较为常规的类型题目，考查的切线，单调性，以及最值问题都是课本中要求的重点内容，考查构造函数用求导的方法求最值的能力。