记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$\frac{\pi}{6}$ ；
（2） $4 \sqrt{2}-5$ ．

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}$ 化成 $\cos (A+B)=\sin B$ ，再结合 $0<B<\frac{\pi}{2}$ ，即可求出；
②由①知，$C=\frac{\pi}{2}+B, A=\frac{\pi}{2}-2 B$ ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$化成 $4 \cos ^{2} B+\frac{2}{\cos ^{2} B}-5$ ，然后利用基本不等式即可解出。

【小问 1 详解】
因为 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}=\frac{2 \sin B \cos B}{2 \cos ^{2} B}=\frac{\sin B}{\cos B}$ ，即
$\sin B=\cos A \cos B-\sin A \sin B=\cos (A+B)=-\cos C=\frac{1}{2}$ ，
而 $0<B<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $B=\frac{\pi}{6}$ ；

【小问 2 详解】

由①知， $\sin B=-\cos C>0$ ，所以 $\frac{\pi}{2}<C<\pi, 0<B<\frac{\pi}{2}$ ，
而 $\sin B=-\cos C=\sin \left(C-\frac{\pi}{2}\right)$ ，
所以 $C=\frac{\pi}{2}+B$ ，即有 $A=\frac{\pi}{2}-2 B$ ．
所以 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin ^{2} A+\sin ^{2} B}{\sin ^{2} C}=\frac{\cos ^{2} 2 B+1-\cos ^{2} B}{\cos ^{2} B}$
$=\frac{\left(2 \cos ^{2} B-1\right)^{2}+1-\cos ^{2} B}{\cos ^{2} B}=4 \cos ^{2} B+\frac{2}{\cos ^{2} B}-5 \geq 2 \sqrt{8}-5=4 \sqrt{2}-5$ ．
当且仅当 $\cos ^{2} B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号，所以 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}-5$ ．